Ortskurve berechnen < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion [mm] f_a(x) [/mm] = [mm] \bruch{2x}{(a+x^2)^2}.
[/mm]
Bestimmen Sie die Gleichung der Ortskurve der Hochpunkte. |
Der Hochpunkt liegt bei [mm] \bruch{\wurzel{a}}{\wurzel{3}}, [/mm] da bin ich mir sicher, denn Mathematica hat mir das auch ausgegeben.
Um die Ortskurve zu berechnen habe ich folgendes gemacht:
x = [mm] \bruch{\wurzel{a}}{\wurzel{3}} [/mm] | * [mm] \wurzel{3}
[/mm]
[mm] \wurzel{3}*x [/mm] = [mm] \wurzel{a} [/mm] | quardrieren
a = [mm] 3x^2
[/mm]
Den Y-Wert für den Hochpunkt habe ich folgendermaßen berechnet:
[mm] f_a(\bruch{\wurzel{a}}{\wurzel{3}}) [/mm] = [mm] \bruch{2\wurzel{\bruch{a}{3}}}{(a+\bruch{a}{3})^2} [/mm] = [mm] \bruch{2\wurzel{\bruch{a}{3}}}{(\bruch{4a}{3})^2} [/mm] = [mm] \bruch{2\wurzel{\bruch{a}{3}}}{\bruch{16a}{9}} [/mm] = [mm] \bruch{18\wurzel{\bruch{a}{3}}}{16a}
[/mm]
Ich hoffe ich habe mich jetzt nicht verrechnet.
Daraufhin habe ich das berechnete a in den Y-Wert eingesetzt:
y = [mm] \bruch{18\wurzel{\bruch{3x^2}{3}}}{16(3x^2)} [/mm] = [mm] \bruch{6x}{16x^2} [/mm] = [mm] \bruch{3}{8x}
[/mm]
Ich glaube nicht das dieses Ergebnis stimmt, denn wenn ich [mm] f_a(x) [/mm] und die berechnete Ortskurve in GeoGebra eingebe, müsste ja die Ortskurve den Hochpunkt immer berühren, unabhängig vom Wert des Parameters a richtig?
Das geschieht leider nicht. Kann mir vielleicht jemand sagen wo der Fehler liegt?
Viele Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:36 Di 23.04.2013 | | Autor: | Loddar |
Halo MrItalian!
> a = [mm]3x^2[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Den Y-Wert für den Hochpunkt habe ich folgendermaßen
> berechnet:
> [mm]f_a(\bruch{\wurzel{a}}{\wurzel{3}})[/mm] = [mm]%5Cbruch%7B2%5Cwurzel%7B%5Cbruch%7Ba%7D%7B3%7D%7D%7D%7B(a%2B%5Cbruch%7Ba%7D%7B3%7D)%5E2%7D[/mm] = [mm]\bruch{2\wurzel{\bruch{a}{3}}}{(\bruch{4a}{3})^2}[/mm] = [mm]%5Cbruch%7B2%5Cwurzel%7B%5Cbruch%7Ba%7D%7B3%7D%7D%7D%7B%5Cbruch%7B16a%7D%7B9%7D%7D[/mm] = [mm]\bruch{18\wurzel{\bruch{a}{3}}}{16a}[/mm]
Beim vorletzten Term ist Dir das Quadrat beim $a_$ im Nenner verloren gegangen.
Schneller bist Du, wenn Du gleich $a \ = \ [mm] 3*x^2$ [/mm] in die Funktionsvorschrift für [mm] $f_a(x)$ [/mm] eingesetzt hättest.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:44 Di 23.04.2013 | | Autor: | MrItalian |
> Beim vorletzten Term ist Dir das Quadrat beim [mm]a_[/mm] im Nenner
> verloren gegangen.
Danke, dass habe ich total übersehen.
>
> Schneller bist Du, wenn Du gleich [mm]a \ = \ 3*x^2[/mm] in die
> Funktionsvorschrift für [mm]f_a(x)[/mm] eingesetzt hättest.
Gut zu wissen, das habe ich nicht gewusst und wäre mir jetzt auch nicht auf die schnelle eingefallen.
> Gruß
> Loddar
Vielen Dank und viele Grüße
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