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| Aufgabe | | c) Stellen Sie die Matrix A in einer Orthonormalbasis von Eigenvektoren dar. |
Moin zusammen!
Bin gerade für eine Klausur am Lernen und habe Probleme mit dieser Aufgabe. Teil a) und b) sind kein Problem, allerdings steh ich bei c) vollkommen auf dem Schlauch. Weiss leider nicht mal wie ich daran gehen soll.
Wäre super wenn mir jemand einen kleinen Denkanstoß geben könnte.
Mfg, der Frede
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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> c) Stellen Sie die Matrix A in einer Orthonormalbasis von
> Eigenvektoren dar.
> Moin zusammen!
> Bin gerade für eine Klausur am Lernen und habe Probleme
> mit dieser Aufgabe. Teil a) und b) sind kein Problem,
> allerdings steh ich bei c) vollkommen auf dem Schlauch.
> Weiss leider nicht mal wie ich daran gehen soll.
> Wäre super wenn mir jemand einen kleinen Denkanstoß
> geben könnte.
>
> Mfg, der Frede
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Du hast ja eine symmetrische Matrix zu beackern, dh. es gibt eine Basis aus Eigenvektoren, und die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind "automatisch" senkrecht zueinander.
Der Eigenraum zum Eigenwert 3 hat die Dimension 2, zwei Basisvektoren hast Du ja sicher schon.
Nun orthogonalisierst Du innerhalb dieses Eigenraumes [mm] (\*), [/mm] am Ende normierst Du noch all Deine Vektoren, und damit bist Du fertig.
[mm] (\*) [/mm] Wenn [mm] b_1 [/mm] und [mm] b_2 [/mm] Deine beiden Basisvektoren sind, suchst Du einen Vektor [mm] b_2' [/mm] mit [mm] b_2'=k_1b_1+k_2b_2 [/mm] und [mm] b_1*b_2'=0
[/mm]
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | | b) Welche Eigenvektoren hat die Matrix A zum Eigenwert 3? |
So, bin die Aufgabe jetzt nochmal durchgegangen und habe gemerkt dass es doch nicht so einfach ist wie ich dachte :)
Hab in die Matrix den Eigenwert 3 eingesetzt und dann per Gauß weitergerechnet. Dann sieht meine Matrix so aus:
[mm] \pmat{ -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0}
[/mm]
Da die letzten beiden Zeilen = 0 sind hat doch dann der Eigenraum die Dimension 2, oder nicht?
Dann kann ich doch daraus folgern dass ich x2 und x3 beliebig wählen kann um die Gleichung aus der 1. Zeile zu lösen.
Das würde doch wiederum bedeuten dass es unendlich viele Basisvektoren dafür gibt. (?????)
Ich seh langsam den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr :)
Mfg, der Frede
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:18 Mi 22.07.2009 | | Autor: | fred97 |
Hallo Namensvetter (frede gefällt mir entschieden besser als "Bumsbirne")
> b) Welche Eigenvektoren hat die Matrix A zum Eigenwert 3?
> So, bin die Aufgabe jetzt nochmal durchgegangen und habe
> gemerkt dass es doch nicht so einfach ist wie ich dachte
> :)
>
> Hab in die Matrix den Eigenwert 3 eingesetzt und dann per
> Gauß weitergerechnet. Dann sieht meine Matrix so aus:
>
> [mm]\pmat{ -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0}[/mm]
>
> Da die letzten beiden Zeilen = 0 sind hat doch dann der
> Eigenraum die Dimension 2, oder nicht?
Korrekt
> Dann kann ich doch daraus folgern dass ich x2 und x3
> beliebig wählen kann um die Gleichung aus der 1. Zeile zu
Ja
> lösen.
> Das würde doch wiederum bedeuten dass es unendlich viele
> Basisvektoren dafür gibt. (?????)
Eine Basis des Eigenraumes wäre z.B.:
{ [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0}, \vektor{-1 \\ 0 \\ 1 } [/mm] }
FRED
>
> Ich seh langsam den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr :)
>
> Mfg, der Frede
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:58 Mi 22.07.2009 | | Autor: | Bumsbirne |
Wunderbar, dann hab ich ja doch mal was verstanden :)
Danke für die schnellen Antworten, ist echt n super Forum!
Mfg, der Frede
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