Orthonormalbasis < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:35 Mo 06.06.2011 | | Autor: | sissenge |
| Aufgabe | Sei B= [mm] {\wurzel{2}/2, sinx,cosx, sin 2x, cos 2x, sin3x, cos3x,...} [/mm] und V= Span(B) [mm] \subset C([0,2\pi]R) [/mm] .
In anderen Worten: V= { a0/2 + [mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_{k} [/mm] cos (kx) [mm] +b_{k}sin(kx) [/mm] }
Zeigen sie, dass B eine Orthonormalbasis von V=Span(B) ist |
Wie kann ich das zeigen, normalerweise würde ich zum Bestimmen einer Orthonormalbasis das Gram Schmidt Verfahren verwenden, aber hier??
Was soll denn B sein?
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Hallo sissenge,
> Sei B= [mm]{\wurzel{2}/2, sinx,cosx, sin 2x, cos 2x, sin3x, cos3x,...}[/mm]
> und V= Span(B) [mm]\subset C([0,2\pi]R)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
.
> In anderen Worten: V= { a0/2 + [mm]\summe_{k=1}^{\infty}a_{k}[/mm]
> cos (kx) [mm]+b_{k}sin(kx)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
> Zeigen sie, dass B eine Orthonormalbasis von V=Span(B) ist
> Wie kann ich das zeigen, normalerweise würde ich zum
> Bestimmen einer Orthonormalbasis das Gram Schmidt Verfahren
> verwenden, aber hier??
> Was soll denn B sein?
B beinhaltet die Basiselemente [mm]b_{i}, \ i \in \IN[/mm]
Um zu zeigen, daß B eine Orthonormalbasis ist,
verwende dessen Eigenschaften:
1. [mm]< b_{i}, \ b_{i} > = 1, \ i \in \IN [/mm]
2. [mm]< b_{i}, \ b_{j} >= 0, \ i,j \in \IN, \ i \not=j [/mm]
Hierzu benötigst Du das Skalarprodukt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:03 Di 07.06.2011 | | Autor: | sissenge |
Ich sollte im ersten Teil der Aufgabe zeigen, dass <f,g> [mm] =1/\pi \integral_{0}^{2\pi}{f(x)g(x) dx} [/mm] ein Skalarprodukt auf C ist.
Jetzt könnte ich ja [mm] [/mm] da einsetzten
Aber ich verstehe noch nicht ganz, was du mit [mm] b_{i} [/mm] meinst...
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Moin,
> Ich sollte im ersten Teil der Aufgabe zeigen, dass <f,g>
> [mm]=1/\pi \integral_{0}^{2\pi}{f(x)g(x) dx}[/mm] ein Skalarprodukt
> auf C ist.
>
> Jetzt könnte ich ja [mm][/mm] da einsetzten
> Aber ich verstehe noch nicht ganz, was du mit [mm]b_{i}[/mm]
> meinst...
Um noch einmal auf B=$ [mm] \{\wurzel{2}/2, sinx,cosx, sin 2x, cos 2x, sin3x, cos3x,...\} [/mm] $ zurückzukommen: Das sind abzählbar unendlich viele Elemente, die den Vektorraum V aufspannen. Abzählbar unendlich heißt, wir können die Elemente mit Indizes [mm] i\in\IN [/mm] nummerieren. Der Vektor [mm] b_i [/mm] ist folglich das i. Element von B.
Um z.z., dass [mm] =1, [/mm] musst du zeigen, dass [mm] 1=1/\pi \integral_{0}^{2\pi}{\sin(kx)^2 dx}=1/\pi \integral_{0}^{2\pi}{\cos(kx)^2 dx}=1/\pi \integral_{0}^{2\pi}{(\sqrt{2}/2)^2 dx}, k\in\IN
[/mm]
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:22 Di 07.06.2011 | | Autor: | sissenge |
Das habe ich mir inzwischen auch überlegt aber da kommt doch nicht 1 raus..
zum Beispiel für:
[mm] 1/\pi\integral_{0}^{2\pi}{sin^2 (x) dx}= 1/\pi [/mm] [-1/2 x - sinx cos x] = [mm] 1/\pi [/mm] (( [mm] -1)-(-\pi-1)) [/mm] = [mm] 1/\pi(-1+1-\pi) [/mm] = -1
.....
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> Das habe ich mir inzwischen auch überlegt aber da kommt
> doch nicht 1 raus..
> zum Beispiel für:
>
> [mm]1/\pi\integral_{0}^{2\pi}{sin^2 (x) dx}= 1/\pi[/mm] [1/2 x - sinx cos x] = [mm]1/\pi[/mm] (( [mm]-1)-(-\pi-1))[/mm] = [mm]1/\pi(-1+1-\pi)[/mm] = -1
Du hast irgendwo falsch integriert.
[mm] 1/\pi \integral \sin^2x dx=\frac{x-\sin(x)\cos(x)}{2\pi}
[/mm]
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:31 Di 07.06.2011 | | Autor: | sissenge |
Ja man sollte halt drauf achten, dass null mal cosinus null ist....
ok... dann leuchtet mir das ein, aber wie kann ich das denn jetzt wieder beweisen???
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> Ja man sollte halt drauf achten, dass null mal cosinus null
> ist....
> ok... dann leuchtet mir das ein, aber wie kann ich das
> denn jetzt wieder beweisen???
Löse das Problem doch gleich allgemein und berechne die von mir anfangs angebenen Integrale (mit Parameter k).
Beispiel [mm] 1/\pi \integral_{0}^{2\pi}{\sin(kx)^2 dx}.
[/mm]
Substituiere erst u:=k*x. Dann kommt dir das Integral womöglich schon bekannt vor. Wenn nein, kannst du z. B. partielle Integration (1x) machen.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:47 Di 07.06.2011 | | Autor: | sissenge |
Naja das Integral von [mm] sin^2(u) [/mm] = 1/2 ( u- sin(u)cos(u) ) ...
also steht dann da [mm] 1/\pi \integral{sin^2 (kx) dx}= 1/\pi \integral{sin^2 (u) 1/k du} [/mm] = 1/k [mm] 1/\pi [/mm] [1/2 (u-sin(u)cos(u))]
soweit richtig??
Und jetzt??
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> Naja das Integral von [mm]sin^2(u)[/mm] = 1/2 ( u- sin(u)cos(u) )
> ...
>
> also steht dann da [mm]1/\pi \integral{sin^2 (kx) dx}= 1/\pi \integral{sin^2 (u) 1/k du}[/mm]
> = 1/k [mm]1/\pi[/mm] [1/2 (u-sin(u)cos(u))]
>
> soweit richtig??
Hallo,
ja.
>
> Und jetzt??
Da Du ohne Grenzen gearbeitet hast, mußt Du nun resubstituieren und dann das bestimmte Integral ausrechnen, welchem Dein Interesse gilt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:15 Di 07.06.2011 | | Autor: | sissenge |
ok.. danke!
Wenn ich jetzt <bi,bj>=0 zeigen möchte mache ich ja im Prinzip das gleiche
0= [mm] \integral{sin(kx)cos(kx) dx} [/mm]
substituieren kx=u und dx=1/k du
[mm] \integral{sin(u)cos(u) 1/k du} [/mm] ist die Stammfunktion von sin(u)cos(u)= 1/2 [mm] sin^2(u)
[/mm]
???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:20 Di 07.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> ok.. danke!
> Wenn ich jetzt <bi,bj>=0 zeigen möchte mache ich ja im
> Prinzip das gleiche
> 0= [mm]\integral_{sin(kx)cos(kx) dx}[/mm]
> substituieren kx=u und dx=1/k du
>
> [mm]\integral_{sin(u)cos(u) 1/k du}[/mm] ist die Stammfunktion von
> sin(u)cos(u)= 1/2 [mm]sin^2(u)[/mm]
> ???
Ja
FRED
P.S.: Deine Darstellung ist grandios !!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:27 Di 07.06.2011 | | Autor: | sissenge |
Ok... so nach und nach kapier ich das so einiger maßen. Nur noch eine Frage wieso musste ich <bi,bi>=1 und <bi,bj>=0 zeigen??
Jetzt gibts noch eine Teilaufgabe:
Zeigen Sie: ist f [mm] \in [/mm] V = Span(B) so gilt [mm] a_{k}=, b_{k}=
[/mm]
Was ist denn hier f??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:30 Di 07.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ok... so nach und nach kapier ich das so einiger maßen.
> Nur noch eine Frage wieso musste ich <bi,bi>=1 und
> <bi,bj>=0 zeigen??
kaum zu glauben .......
Hast Du Dir mal angesehen wie "Orthonormalbasis" def. ist ?
>
> Jetzt gibts noch eine Teilaufgabe:
>
> Zeigen Sie: ist f [mm]\in[/mm] V = Span(B) so gilt
> [mm]a_{k}=, b_{k}=[/mm]
> Was ist denn hier f??
f ist eine Funktion aus V.
FRED
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