Orthonormalbasis < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:46 Mi 19.11.2008 | | Autor: | extasic |
| Aufgabe | Sei V ein Vektorraum und [mm] \{v1,...,v_{n}\} [/mm] eine Basis. Zu v [mm] \in [/mm] V sei [mm] \lambda(v) [/mm] := [mm] (\lambda_{1}(v),...,\lambda_{n}(v))^{T}
[/mm]
der Koordinatenvektor von v bezüglich der Basis [mm] \{v1,...,v_{n}\}.
[/mm]
Zeigen Sie:
Die Vektoren [mm] v_{i} [/mm] der Basis [mm] \{v1,...,v_{n}\} [/mm] bilden bezüglich des inneren Produktes
<v,w> := [mm] \summe_{i=1}^{n} \lambda_{i}(v) \lambda_{i}(w), [/mm] v,w [mm] \in [/mm] V
eine Orthonormalbasis |
Hallo liebe Matheraummitglieder!
Mit dieser Aufgabe komme ich leider nicht weiter und bitte um eure Mithilfe. Mein Ansatz bisher:
[mm] (v_{1} [/mm] .. [mm] v_{n}) [/mm] sind Basis [mm] \Rightarrow (v_{1} [/mm] .. [mm] v_{n}) [/mm] linear unabhängig
[mm] \Rightarrow \lambda_{i} [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] = [mm] \lambda_{i}(v)\lambda_{j}(v) [/mm] = 0
also [mm] v_{i} \perp v_{j}
[/mm]
Allerdings kommt mir meine Lösung nicht richtig vor...
Wo liegt mein Fehler?
Danke im Voraus!
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> Sei V ein Vektorraum und B=[mm]\{v1,...,v_{n}\}[/mm] eine Basis. Zu v
> [mm]\in[/mm] V sei [mm]\lambda(v)[/mm] :=
> [mm](\lambda_{1}(v),...,\lambda_{n}(v))^{T}[/mm]
> der Koordinatenvektor von v bezüglich der Basis
> [mm]\{v1,...,v_{n}\}.[/mm]
>
> Zeigen Sie:
> Die Vektoren [mm]v_{i}[/mm] der Basis [mm]\{v1,...,v_{n}\}[/mm] bilden
> bezüglich des inneren Produktes
>
> <v,w> := [mm]\summe_{i=1}^{n} \lambda_{i}(v) \lambda_{i}(w),[/mm]
> v,w [mm]\in[/mm] V
>
> eine Orthonormalbasis
> Hallo liebe Matheraummitglieder!
>
> Mit dieser Aufgabe komme ich leider nicht weiter und bitte
> um eure Mithilfe. Mein Ansatz bisher:
>
> [mm](v_{1}[/mm] .. [mm]v_{n})[/mm] sind Basis
Hallo,
und Du sollst nun zeigen, daß [mm] [/mm] =1 ist für alle i=1,2,...,n (normiert)
und [mm] [/mm] =0 für i,j=1,2,...,n , [mm] i\not=j [/mm] (paarweise orthogonal).
Oben ist erklärt, um welches innere Produkt es geht: um <v, w> zu berechnen, soll man die Vektoren als Koordinatenvektoren bzgl der Basis B schreiben, die jeweils die i-te Koordinate von v mit der i-ten von w multiplizieren und alles addieren. (Das kennt man ja von Skalrprodukt aus der Schule.)
Als kleine Vorübung: wie lautet der Koordinantenvektor bzgl der Basis B von [mm] v:=1*v_1+2*v_2 +...+nv_n [/mm] ?
Wenn Du das weißt, weißt Du auch, wie die Koordinatenvektoren der Basisvektoren lauten, und wenn Du das eißt, kannst Du vorrechnen, daß sie orthonormal sind.
> Wo liegt mein Fehler?
In ziemlich vielen Stellen.
Gruß v. Angela
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