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Gegeben seien die Vektoren v1= [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -2 \\ 2}, [/mm] v2= [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 2 \\ 2}, [/mm] v3= [mm] \vektor{3 \\ -2 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
a) Bestimmen Sie die Euklidische Längen der Vektoren und paarweise die Skalarprodukte der Vektoren v1 und v2, v2 und v3 sowie v1 und v3.
v1= 3
v2=3
v3= [mm] \wurzel[1]{14}
[/mm]
1. v1 * v2 = -2
2. v2*v3 = 0
3. v1*v3= 5
So das war einfach, aber jetzt kommt ne frage die ich nicht verstehe.
b)Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis von Lin {v1,v2,v3} (Schmidtsche Orthonormalisierung)
Habe bei Wikipedia nachgeschaut, aber ich kann mit dem Verfahren wenig anfangen.
Außerdem ist es nur für 2 Vektoren gezeigt worden und nicht für 3. Was ändert sich bei der Rechnung?
Kann mir einer bitte paar gute Tipps/lösungen geben?
danke schon mal
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> Gegeben seien die Vektoren v1= [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ -2 \\ 2},[/mm]
> v2= [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 2 \\ 2},[/mm] v3= [mm]\vektor{3 \\ -2 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
>
> a) Bestimmen Sie die Euklidische Längen der Vektoren und
> paarweise die Skalarprodukte der Vektoren v1 und v2, v2 und
> v3 sowie v1 und v3.
>
> v1= 3
> v2=3
> v3= [mm]\wurzel[1]{14}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> 1. v1 * v2 = -2
> 2. v2*v3 = 0
> 3. v1*v3= 5
>
> So das war einfach, aber jetzt kommt ne frage die ich nicht
> verstehe.
>
> b)Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis von Lin {v1,v2,v3}
> (Schmidtsche Orthonormalisierung)
>
> Habe bei Wikipedia nachgeschaut, aber ich kann mit dem
> Verfahren wenig anfangen.
>
> Außerdem ist es nur für 2 Vektoren gezeigt worden und nicht
> für 3. Was ändert sich bei der Rechnung?
Von der Grundidee nichts: wenn Du einen weiteren Vektor zu bereits bestimmten Basisvektoren dazunehmen willst, bestimmst Du die zu den bereits bestimmten Basisvektoren orthogonale Komponente dieses Vektors und normierst diese.
> Kann mir einer bitte paar gute Tipps/lösungen geben?
Den ersten Basisvektor $\vec{e}_1$ erhältst Du, indem Du $\vec{v}_1$ normierst: $\vec{e}_1 := \frac{1}{|\vec{v}_1|}\vec{v}_1$.
Als zweiten Basisvektor $\vec{e}_2$ nimmst Du die zu $\vec{e}_1$ senkrechte Komponente von $\vec{v}_2$ und normierst diese. Im Detail: Du machst für die zu $\vec{e}_1$ orthogonale Komponente von $\vec{v}_2$ den Ansatz $\vec{v}_2+\lambda\vec{e}_1$, der der Bedingung $(\vec{v}_2+\lambda\vec{e}_1)\cdot\vec{e}_1}=0$ genügen muss. Daraus erhältst Du den Wert von $\lambda$ und somit kannst Du sagen, dass $\vec{e}_2:=\frac{1}{|\vec{v}_2+\lambda \vec{e}_1|}(\vec{v}_2+\lambda\vec{e}_1)$ ist.
Als dritten Basisvektor $\vec{e}_3$ nimmst Du die sowohl zu $\vec{e}_1$ als auch $\vec{e}_2$ senkrechte Komponente von $\vec{v}_3$ und normierst diese: dann bist Du fertig. Im Detail: Du machst für die zu $\vec{e}_1$ und $\vec{e}_2$ senkrechte Komponente von $\vec{v}_3$ den Ansatz $\vec{v}_3+\mu\vec{e}_1+\nu\vec{e}_2$, der den Bedingungen $(\vec{v}_3+\mu\vec{e}_1+\nu\vec{e}_2)\cdot\vec{e}_1=0$ und $(\vec{v}_3+\mu\vec{e}_1+\nu\vec{e}_2)\cdot\vec{e}_2=0$ genügen muss. Daraus erhältst Du die Werte von $\mu$ und $\nu$ und kannst somit sagen, dass $\vec{e}_3 := \frac{1}{|\vec{v}_3+\mu\vec{e}_1+\nu\vec{e}_2|}(\vec{v}_3+\mu\vec{e}_1+\nu\vec{e}_2)$ ist.
Die orthonormierte Basis von $\mathrm{Lin}\{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3\}$ wäre somit $\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3$.
Nachtrag (1. Revision): Ich sehe gerade, dass im ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia Artikel, Abschnitt "Algorithmus des Orthonormalisierungsverfahrens", durchaus die Schritte bis und mit [mm] $\vec{v}_3$ [/mm] explizit hingeschrieben werden. Im Unterschied zu dem hier vorgeschlagenen Vorgehen werden im Wikipedia-Artikel die Skalare [mm] $\lambda$, $\mu$ [/mm] und [mm] $\nu$ [/mm] mit Hilfe von Skalarprodukten mit den bereits bestimmten orthonormierten Basisvektoren bestimmt. Das geht natürlich auch, ist sogar einfacher.
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Wenn ich mir die Formel bei Wikipedia anschaue, was bekomme ich dann am Ende heraus? Was sagt der Vektor aus? Wie mache ich das mit 3 vektoren?
Brauche ma bitte ne anfangs Gleichung oder ähnliches
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> Wenn ich mir die Formel bei Wikipedia anschaue, was bekomme
> ich dann am Ende heraus? Was sagt der Vektor aus? Wie mache
> ich das mit 3 vektoren?
>
> Brauche ma bitte ne anfangs Gleichung oder ähnliches
Hallo,
ich weiß nicht, was Du noch erwartest, die Wikipedia-Artikel gibt doch eine ganz genaue Anleitung.
Vielleicht solltest Du einfach mal anfangen. Ohne Anfang kein Ende.
Die drei vektoren, die Du in der Aufgabe gegeben hast, sind auch [mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] des Artikels.
Ausrechnen mußt Du die [mm] u_1, u_2, u_3 [/mm] des Artikels.
Folge einfach haargenau dem Algorithmus des Orthonormalisierungsverfahrens. Es steht doch bis zum dritten Vektor alles explizit da.
Gruß v. Angela
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Also:
habe es so gemacht wie bei wiki und habe folgendes raus:
u1= 1/3 * [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -2 \\ 2}
[/mm]
u'2) v2- <v2,u1>*u1 = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 2 \\ 2} [/mm] - [mm] <(\vektor{1 \\ 0 \\ -2 \\ 2}, \vektor{0 \\ 1 \\ 2 \\ 2}> [/mm] * 1/3 * [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -2 \\ 2} [/mm] =
So wie berechen ich das was in der klammer steht? < ...>
und wenn ich das ergebnis dann habe, berechne ich u2.
u2= (u'2)/ [mm] \parallel [/mm] u'2 [mm] \parallel [/mm] = ...
Was mache ich nu mit dem dritten vektor?
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Bitte keine rumgelabere  , da ich die aufgabe in 2 stunden spätestens abgeben haben muss und ich darauf punkte bekomme. Danke schon mal
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> Also:
>
> habe es so gemacht wie bei wiki und habe folgendes raus:
>
> u1= 1/3 * [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ -2 \\ 2}[/mm]
Hallo,
genau. damit hast Du den ersten Vektor Deiner ONB.
>
> u'2) v2- <v2,u1>*u1 = [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 2 \\ 2}[/mm] -
> [mm]<(\vektor{1 \\ 0 \\ -2 \\ 2}, \vektor{0 \\ 1 \\ 2 \\ 2}>[/mm] *
> 1/3 * [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ -2 \\ 2}[/mm] =
Das ist nicht ganz richtig: man soll doch in der Klammer [mm] v_2 [/mm] und [mm] u_1 [/mm] haben, also lautet die Klammer [mm] <(\vektor{1/3 \\ 0/3 \\ -2/3 \\ 2/3}, \vektor{0 \\ 1 \\ 2 \\ 2}>.
[/mm]
>
> So wie berechen ich das was in der klammer steht? < ...>
Die Klammer steht für das Skalarprodukt.
>
> und wenn ich das ergebnis dann habe, berechne ich u2.
Ja.
>
> u2= (u'2)/ [mm]\parallel[/mm] u'2 [mm]\parallel[/mm] = ...
Genau, der zuvor berechnete Vektor u'_2wird nämlich jetzt normiert.
> Was mache ich nu mit dem dritten vektor?
Folge genau dem Artikel.
Berechne u'_3 , und normiere. Damit hast Du dann auch noch [mm] u_3,
[/mm]
und [mm] (u_1, u_2, u_3) [/mm] sind die gesuchte ONB.
Gruß v. Angela
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