Orthonormalbasis < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:09 Fr 21.09.2007 | | Autor: | elefanti |
| Aufgabe | | Nachvollziehen dass { [mm] \vektor{cos \alpha \\ sin \alpha}, \vektor{sin \alpha\\ - cos \alpha} [/mm] } für beliebige Winkel [mm] \alpha \in \IR [/mm] eine Orthonormalbasis des [mm] \IR^2 [/mm] zum euklidischen Skalarprodukt bildet. |
Hallo,
ich habe mit Gram-Schmidt gezeigt, dass das wirklich eine Orthonormalbasis ist.
Was mich nun verwirrt, ist: "... zum euklidischen Skalarprodukt bildet." ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Soll ich anders an die Aufgabe rangehen?
Liebe Grüße
Elefanti
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:29 Fr 21.09.2007 | | Autor: | Blech |
> Nachvollziehen dass [mm]\left\{\vektor{cos \alpha \\ sin \alpha}, \vektor{sin \alpha\\ - cos \alpha}\right\}[/mm]
> für beliebige Winkel [mm]\alpha \in \IR[/mm] eine Orthonormalbasis
> des [mm]\IR^2[/mm] zum euklidischen Skalarprodukt bildet.
> Hallo,
>
> ich habe mit Gram-Schmidt gezeigt, dass das wirklich eine
> Orthonormalbasis ist.
> Was mich nun verwirrt, ist: "... zum euklidischen
> Skalarprodukt bildet."
>
> Soll ich anders an die Aufgabe rangehen?
>
Nö paßt schon.
Vielleicht hilft etwas umformulieren:
[mm]\vektor{\cos \alpha \\ \sin \alpha}, \vektor{\sin \alpha\\ - \cos \alpha}[/mm] bildet bzgl. des euklidischen Skalarprodukts eine Orthonormalbasis des [mm]\IR^2[/mm].
Es gibt andere Skalarprodukte und bzgl jener muß es keine sein. Falls ihr das noch nicht hattet (also Skalarprodukte/innere Produkte), kommt es noch =)
Aber ein einfaches Bsp:
Für [mm]A= \pmat{2 & 0\\ 0&1}[/mm] oder jede andere symmetrisch positiv definite (SPD, nicht zu verwechseln mit der CSU, der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung) Matrix ist [mm]_A = x^tAy[/mm] ein Skalarprodukt auf [mm]\IR^2[/mm]
[mm]\vektor{\cos \alpha & \sin \alpha}\pmat{2 & 0\\ 0&1}\vektor{\sin \alpha \\ -\cos \alpha} \neq_{i.a.} 0 \quad \Rightarrow[/mm] kann nicht orthonormal sein.
> Liebe Grüße
> Elefanti
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:51 Fr 21.09.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
Blech hat zwar schon auf deine Frage geantwortet, ich möchte jedoch folgenden Punkt noch einmal aufgreifen:
> Was mich nun verwirrt, ist: "... zum euklidischen
> Skalarprodukt bildet."
Das euklidische Skalarprodukt ist wie folgt definiert:
[mm] :=\summe_{j=1}^{n}x_{j}*\overline{y}_{j}
[/mm]
> ich habe mit Gram-Schmidt gezeigt, dass das wirklich eine Orthonormalbasis ist.
Da hast du dann bestimmt auch das euklidische Skalarprodukt genommen!
Du hast das sicher so gemacht (?):
[mm] v_1:=\vektor{cos \alpha \\ sin \alpha}, [/mm]
[mm] v_2:=\vektor{sin \alpha\\ - cos \alpha}
[/mm]
1. Zeigen, [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] sind normiert:
[mm] \parallel v_1 \parallel =\wurzel{cos(\alpha)^2+sin(\alpha)^2}=1 \Rightarrow v_1 [/mm] normiert.
[mm] \parallel v_2 \parallel =\wurzel{sin(\alpha)^2+(-cos(\alpha))^2}=1 \Rightarrow v_2 [/mm] normiert.
2. Zeigen, [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] sind orthogonal zueinander:
(jetzt kommt das euklidische Skalarprodukt zur Anwendung:)
[mm] <\vektor{cos \alpha \\ sin \alpha},\vektor{sin \alpha\\ - cos \alpha}>=cos(\alpha)*sin(\alpha)+sin(\alpha)*(-cos(\alpha))=cos(\alpha)*sin(\alpha)-sin(\alpha)*cos(\alpha)=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] sind ortogonal zueinander.
Insgesamt bilden [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] (unabhängig der Wahl von [mm] \alpha \in\IR [/mm] ) eine Orthonormalbasis des [mm] \IR^2.
[/mm]
MfG barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:49 Sa 22.09.2007 | | Autor: | elefanti |
Hallo,
vielen Dank für eure beiden Antworten.
Du hast das sicher so gemacht (?):
>
> [mm]v_1:=\vektor{cos \alpha \\ sin \alpha},[/mm]
>
> [mm]v_2:=\vektor{sin \alpha\\ - cos \alpha}[/mm]
>
> 1. Zeigen, [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] sind normiert:
>
> [mm]\parallel v_1 \parallel =\wurzel{cos(\alpha)^2+sin(\alpha)^2}=1 \Rightarrow v_1[/mm]
> normiert.
>
> [mm]\parallel v_2 \parallel =\wurzel{sin(\alpha)^2+(-cos(\alpha))^2}=1 \Rightarrow v_2[/mm]
> normiert.
>
> 2. Zeigen, [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] sind orthogonal zueinander:
>
> (jetzt kommt das euklidische Skalarprodukt zur Anwendung:)
>
> [mm]<\vektor{cos \alpha \\ sin \alpha},\vektor{sin \alpha\\ - cos \alpha}>=cos(\alpha)*sin(\alpha)+sin(\alpha)*(-cos(\alpha))=cos(\alpha)*sin(\alpha)-sin(\alpha)*cos(\alpha)=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] sind ortogonal zueinander.
>
> Insgesamt bilden [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] (unabhängig der Wahl von
> [mm]\alpha \in\IR[/mm] ) eine Orthonormalbasis des [mm]\IR^2.[/mm]
>
Leider habe ich das nicht ganz so gemacht, schade, so wäre das einfacher gewesen.
Das habe ich auch:
> [mm]v_1:=\vektor{cos \alpha \\ sin \alpha},[/mm]
>
> [mm]v_2:=\vektor{sin \alpha\\ - cos \alpha}[/mm]
>
> 1. Zeigen, [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] sind normiert:
>
> [mm]\parallel v_1 \parallel =\wurzel{cos(\alpha)^2+sin(\alpha)^2}=1 \Rightarrow v_1[/mm]
> normiert.
>
> [mm]\parallel v_2 \parallel =\wurzel{sin(\alpha)^2+(-cos(\alpha))^2}=1 \Rightarrow v_2[/mm]
> normiert.
>
Aber als 2. habe ich orthonormalisiert:
[mm] u_1 [/mm] = [mm] v_1 [/mm] = [mm] \vektor{cos \alpha \\ sin \alpha}
[/mm]
[mm] u_2 [/mm] = [mm] v_2 [/mm] - [mm] (/) *u_1
[/mm]
= [mm] \vektor{sin \alpha \\ -cos\alpha} [/mm] - [mm] (<\vektor{cos \alpha \\ sin \alpha}, \vektor{sin \alpha \\ -cos \alpha}> [/mm] /< [mm] \vektor{cos \alpha \\ sin \alpha}, \vektor{cos \alpha \\ sin \alpha}> [/mm] ) * [mm] \vektor{cos \alpha \\ sin \alpha}
[/mm]
= [mm] \vektor{sin \alpha \\ -cos \alpha} [/mm] - 0/1 * [mm] \vektor{cos \alpha \\ sin \alpha}
[/mm]
= [mm] \vektor{sin \alpha \\ -cos \alpha}
[/mm]
Somit ist {1/1 [mm] \vektor{cos \alpha \\ sin \alpha}, [/mm] 1/1 [mm] \vektor{sin \alpha\\ - cos \alpha} [/mm] } ={ [mm] \vektor{cos \alpha \\ sin \alpha}, \vektor{sin \alpha\\ - cos \alpha} [/mm] }wirklich für beliebigen Winkel [mm] \alpha \in \IR [/mm] eine Orthonormalbasis des [mm] \IR^2 [/mm] zum euklidischen Skalarprodukt.
> Es gibt andere Skalarprodukte und bzgl jener muß es keine sein. Falls ihr das noch nicht hattet (also Skalarprodukte/innere Produkte), kommt es noch =)
Kommt das von den unterschiedlichen Normen, die es gibt?
Da ich nicht in der Hauptfach-Mathematik Vorlesung sitze, hatten wir das meiner Meinung nach nicht. Ich habe aber an meiner Mathematik-Vorlesung aus Krankheitsgründen auch nicht teilgenommen, daher versuche ich gerade die Vorlesungen für mich zu wiederholen um den Anschluss nicht völlig zu verlieren.
Viele Grüße
Elefanti
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:17 Sa 22.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Aber als 2. habe ich orthonormalisiert:
> [mm]u_1[/mm] = [mm]v_1[/mm] = [mm]\vektor{cos \alpha \\ sin \alpha}[/mm]
> [mm]u_2[/mm] = [mm]v_2[/mm] - [mm](/) *u_1[/mm]
> = [mm]\vektor{sin \alpha \\ -cos\alpha}[/mm] - [mm](<\vektor{cos \alpha \\ sin \alpha}, \vektor{sin \alpha \\ -cos \alpha}>[/mm] /< [mm]\vektor{cos \alpha \\ sin \alpha}, \vektor{cos \alpha \\ sin \alpha}>[/mm] ) * [mm]\vektor{cos \alpha \\ sin \alpha}[/mm]
> = [mm]\vektor{sin \alpha \\ -cos \alpha}[/mm] - 0/1 * [mm]\vektor{cos \alpha \\ sin \alpha}[/mm] = [mm]\vektor{sin \alpha \\ -cos \alpha}[/mm]
Das ist nicht falsch, aber auch nicht nötig. Die beiden Vektoren [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] sind schon orthogonal, was du ja auch daran siehst, dass beim Gram-Schmidt-Verfahren der zweite Term 0 ist.
Also: Wenn deine Vektoren schon paarweise orthogonal sind, brauchst du Gram-Schmidt nicht mehr anzuwenden--es schadet aber auch nix.
> > Es gibt andere Skalarprodukte und bzgl jener muß es keine sein. Falls ihr das noch nicht hattet (also
> > Skalarprodukte/innere Produkte), kommt es noch =)
> Kommt das von den unterschiedlichen Normen, die es gibt?
Nicht ganz, aber es gibt einen Zusammenhang. Jedes Skalarprodukt definiert automatisch eine Norm (über [mm]\|v\|=\sqrt{|\left< v\mid v \right>|}[/mm]), aber nicht zu jeder Norm gibt es ein passendes Skalarprodukt (Beispiel: Maximumsnorm).
Eine Norm ist eine Art Verallgemeinerung des Längenbegriffs. Zum euklidischen Skalarprodukt gehört die "gewohnte" Norm, die dem Längenbegriff der physikalischen, erfahrbaren Welt entspricht.
Das euklidische Skalarprodukt ist "das gewohnte", weil es die reale Welt am besten abbildet; deswegen benutzt man es in der Physik zum Beispiel für mechanische Systeme. Die Mathematik verallgemeinert den Begriff, indem sie ihn zuerst auf das Wesentliche reduziert, das ergibt dann die Definition des Skalarprodukts als positiv semidefinite symmetrische oder hermitesche Bilinearform.
Im "gewohnten" dreidimensionalen Raum ist das nicht viel mehr als eine mathematische Spielerei, die noch recht einfach verständlich ist. Ihren wirklichen Nutzen entfalten diese Begriffe in unendlich dimensionalen Vektorräumen, die viel weniger anschaulich als der [mm]\IR^3[/mm] oder der [mm]\IR^n[/mm] sind.
Viele Grüße
Rainer
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