Orthonormalbasis < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:25 Do 21.06.2007 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | In V = [mm] \IR^3 [/mm] seien die Standardbasis B = (B1;B2;B3), das Standardskalarprodukt [mm] \Phi [/mm] und ein Endomorphismus [mm] \varphi [/mm] mit [mm] _{B\varphi B}=A=\pmat{ 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2} [/mm] gegeben.
Berechnen Sie eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von [mm] \varphi.
[/mm]
Hinweis: Die Eigenwerte von [mm] \varphi [/mm] sind ganzzahlig. |
ICh weiß nicht wirklich ob das so geht aber habe es einfach mal so gemacht, da es sich für mich logisch anhört.
[mm] X_\varphi=det(\lambda E-A)=\vmat{\lambda-2 & 1 & 1 \\ 1 & \lambda-2 & 1 \\ 1 & 1 & \lambda-2}=(\lambda-2)^3+1+1-(\lambda-2)-(\lambda-2)-(\lambda-2)=\lambda^3-6\lambda^2+9\lambda
[/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda_1=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Polynomdivison:
[mm] \lambda^3-6\lambda^2+9\lambda:\lambda=\lambda^2-6\lambda+9
[/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda_{2,3}=3
[/mm]
Dann die Eigenvektoren:
[mm] \lambda_1=0:
[/mm]
[mm] (A-0E)*\vec x=\pmat{ 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2}*\vec [/mm] x =0
[mm] \Rightarrow\vec x=\pmat{3\\-1\\1}
[/mm]
[mm] \lambda_{2,3}=3:
[/mm]
[mm] (A-3E)*\vec y=\pmat{ -1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & -1}*\vec [/mm] y =0
[mm] \vec y_1=\pmat{0\\1\\-1}, \vec y_2=\pmat{1\\0\\-1}, \vec y_3=\pmat{1\\-1\\0}
[/mm]
Nun kann ich die Vektoren [mm] \vec y_1, \vec y_2 [/mm] und [mm] \vec y_3 [/mm] als Basis von [mm] \IR^3 [/mm] wählen. Diese ist bereits orthogonal da [mm] \vec y_1*\vec y_2=\vec y_1*\vec y_3=\vec y_2*\vec y_3=1 [/mm] und damit alle othogonal aufeinander stehen.
Nun muss ich sie noch normieren:
[mm] |\vec y_1|=|\pmat{0\\1\\-1}|=\wurzel{0^2+1^2+(-1)^2}=\wurzel{2}
[/mm]
Nun ist [mm] e_1=\bruch{\vec y_1}{\wurzel{2}}=\pmat{ 0 \\ \bruch{1}{\wurzel{2}} \\ \bruch{-1}{\wurzel{2}} }
[/mm]
[mm] |\vec y_2|=|\pmat{1\\0\\-1}|=\wurzel{1^2+0^2+(-1)^2}=\wurzel{2}
[/mm]
Nun ist [mm] e_2=\bruch{\vec y_2}{\wurzel{2}}=\pmat{ \bruch{1}{\wurzel{2}} \\ 0 \\ \bruch{-1}{\wurzel{2}} }
[/mm]
[mm] |\vec y_3|=|\pmat{1\\-1\\0}|=\wurzel{1^2+(-1)^2+0^2}=\wurzel{2}
[/mm]
Nun ist [mm] e_3=\bruch{\vec y_3}{\wurzel{2}}=\pmat{ \bruch{1}{\wurzel{2}} \\ \bruch{-1}{\wurzel{2}} \\ 0 }
[/mm]
Und damit [mm] (e_1, e_2, e_3) [/mm] die gesuchte Basis.
Oder?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> In V = [mm]\IR^3[/mm] seien die Standardbasis B = (B1;B2;B3), das
> Standardskalarprodukt [mm]\Phi[/mm] und ein Endomorphismus [mm]\varphi[/mm]
> mit [mm]_{B\varphi B}=A=\pmat{ 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2}[/mm]
> gegeben.
> Berechnen Sie eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von
> [mm]\varphi.[/mm]
> Hinweis: Die Eigenwerte von [mm]\varphi[/mm] sind ganzzahlig.
>
> [mm]X_\varphi=det(\lambda E-A)=\vmat{\lambda-2 & 1 & 1 \\ 1 & \lambda-2 & 1 \\ 1 & 1 & \lambda-2}=(\lambda-2)^3+1+1-(\lambda-2)-(\lambda-2)-(\lambda-2)=\lambda^3-6\lambda^2+9\lambda[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \lambda_1=0[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] Polynomdivison:
>
> [mm]\lambda^3-6\lambda^2+9\lambda:\lambda=\lambda^2-6\lambda+9[/mm]
> [mm]\Rightarrow \lambda_{2,3}=3[/mm]
Hallo,
Deine Eigenwerte sind richtig.
>
> Dann die Eigenvektoren:
> [mm]\lambda_1=0:[/mm]
> [mm](A-0E)*\vec x=\pmat{ 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2}*\vec[/mm]
> x =0
> [mm]\Rightarrow\vec x=\pmat{3\\-1\\1}[/mm]
Hier hast Du Dich verrechnet.
Daß der von Dir errechnete EV keiner ist, kannst Du selbst herausfinden, indem Du ihn mal einsetzt.
>
> [mm]\lambda_{2,3}=3:[/mm]
> [mm](A-3E)*\vec y=\pmat{ -1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & -1}*\vec[/mm]
> y =0
> [mm]\vec y_1=\pmat{0\\1\\-1}, \vec y_2=\pmat{1\\0\\-1}, \vec y_3=\pmat{1\\-1\\0}[/mm]
Die drei sind tatsächlich Eigenvektoren der Startmatrix.
Sie sind aber keine Basis des Kerns:
Man sieht ja auf einen Blick, daß der Rang von [mm] \pmat{ -1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & -1}=1 [/mm] ist, also ist die Dimension des Kerns=2.
D.h. diese drei Vektoren sind linear abhängig und daher kann man keinesfalls
>
> die Vektoren [mm]\vec y_1, \vec y_2[/mm] und [mm]\vec y_3[/mm]
> als Basis von [mm]\IR^3[/mm] wählen.
Was ist zu tun?
Erstmal rechnest Du den EV zu 0 richtig aus,
dann bestimmst Du eine Basis des Eigenraums zum EW 3.
Wenn alles richtig ist, steht, steht der EV zu 0 völlig automatisch senkrecht auf denen zum EW 3 (symmetrische Matrix).
Falls letztere noch nicht senkrecht sind, orthogonalisiertst Du sie.
Zum Schluß normierst Du noch.
Diese ist bereits orthogonal da
> [mm]\vec y_1*\vec y_2=\vec y_1*\vec y_3=\vec y_2*\vec y_3=1[/mm] und
> damit alle othogonal aufeinander stehen.
Och! Ich fall vom Glauben ab!
Was ist mit dem Skalarprodukt im Falle der Orthogonalität???
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 Sa 23.06.2007 | | Autor: | Zerwas |
Okay klar [mm] \pmat{ 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2}*\pmat{3\\-1\\1}=\pmat{6\\-6\\0}
[/mm]
D.h neu rechnen:
[mm] \lambda_1=0:
[/mm]
[mm] (A-0E)\cdot{}\vec x=\pmat{ 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2}\cdot{}\vec [/mm] x =0
[mm] \Rightarrow \vec x=\pmat{1\\1\\1}
[/mm]
Was dann auch bei der Kontrolle [mm] \vec [/mm] 0 ergibt.
[mm] \lambda_{2,3}=3:
[/mm]
[mm] (A-3E)\cdot{}\vec y=\pmat{ -1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & -1}\cdot{}\vec
[/mm]
y =0
[mm] \Rightarrow: \vec y_1=\pmat{0\\1\\-1}, \vec y_2=\pmat{1\\0\\-1}
[/mm]
[mm] \vex [/mm] x und [mm] \vec y_1 [/mm] sind bereits orthogonal zueienander, da [mm] \vec x*\vec y_1=0! [/mm] (:-[)
[mm] \vec y_2 [/mm] jedoch nicht Also Gram-Schmidt:
[mm] \vec y_2^{'}=\vec y_2-\bruch{<\vec y_2, \vec x>}{<\vec x, \vec x>}*\vec [/mm] x [mm] -\bruch{<\vec y_2, \vec y_1>}{<\vec y_1, \vec y_1>}*\vec y_1 [/mm] = [mm] \pmat{1\\0\\-1}-0*\pmat{1\\1\\1}-\bruch{1}{2}*\pmat{0\\1\\-1}=\pmat{1\\ -\bruch{1}{2}\\-\bruch{1}{2}}
[/mm]
Nun muss ich die drei Vektoren noch normalisieren:
[mm] \vec e_1= |\vec x|*\vec [/mm] x = [mm] \wurzel{3}*\pmat{1\\1\\1}=\pmat{\wurzel{3}\\\wurzel{3}\\\wurzel{3}}
[/mm]
[mm] \vec e_2= |\vec y_1|*\vec y_1 [/mm] = [mm] \wurzel{2}*\pmat{0\\1\\-1}=\pmat{0\\\wurzel{2}\\-\wurzel{2}}
[/mm]
[mm] \vec e_3= |\vec y_2^{'}|*\vec y_2^{'} [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{3}{2}}*\pmat{1\\ -\bruch{1}{2}\\ -\bruch{1}{2}} [/mm] = [mm] \pmat{ \wurzel{\bruch{3}{2}} \\ -\bruch{1}{2}\wurzel{\bruch{3}{2}} \\ -\bruch{1}{2}\wurzel{\bruch{3}{2}} }
[/mm]
Dann bilden [mm] (e_1, e_2, e_3) [/mm] die gesuchte Orthonormalbasis.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:31 Sa 23.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Zerwas
Du willst doch, dass der Betrag der Vektoren 1 ist, dazu musst du durch den Betrag teisen, nicht multipl.
sonst scheint es in Ordnung.
Gruss leduart
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