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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:28 Di 09.05.2006 | | Autor: | oeli1985 |
| Aufgabe | Es sei V ein eindlich-dimensionaler, euklidischer Vektorraum und { [mm] v_{1},..., v_{n} [/mm] } eine Basis von V. Zeigen sie, dass diejenige Orthonormalbasis von V, die sich durch Anwendung des Gram-Schmidt-Verfahrens auf { [mm] v_{1},..., v_{n} [/mm] } ergibt, unter allen Orthonormalbasen { [mm] a_{1},..., a_{n} [/mm] } von durch die folgende Eigenschaft charakterisiert ist:
Für alle k [mm] \in [/mm] {1,...,n} gilt: { [mm] v_{1},..., v_{n} [/mm] } und { [mm] a_{1},..., a_{n} [/mm] } sind Basen desselben Untervektorraums von V mit derselben Orientierung. |
Hallo zusammen,
ich könnte eure Hilfe bei dieser Aufgabe gebrauchen. Weiss nämlich nit weiter bzw. nicht mal richtig wo ich anfangen soll.
Mein kleiner Ansatz:
B:={ [mm] b_{1}, [/mm] ... , [mm] b_{n} [/mm] } sei die ONB, welche sich durch das G.-S.-Verfahren auf { [mm] v_{1},..., v_{n} [/mm] } ergibt.
dann:
B={ [mm] \bruch{ v_{1}}{|| v_{1}||}, \bruch{ v_{2}-< v_{2}, b_{1}> b_{1}}{|| v_{2}-< v_{2}, b_{1}> b_{1}||}, [/mm] ... , [mm] \bruch{ v_{n}-< v_{n}, b_{1}> b_{1}-< v_{n}, b_{2}> b_{2}- ... - < v_{n}, b_{n-1}> b_{n-1}}{|| v_{n}-< v_{n}, b_{1}> b_{1}-< v_{n}, b_{2}> b_{2}- ... - < v_{n}, b_{n-1}> b_{n-1}||} [/mm] }
jetzt wäre doch zu zeigen:
1.
Für alle k [mm] \in [/mm] {1,...n}: Alle [mm] a_{i} [/mm] für i=1,...,k sind als Linearkombination der Untervektorraumbasen { [mm] v_{1}, [/mm] ... , [mm] v_{k} [/mm] } von V darstellbar.
Dadurch zeigt man dann doch, dass { [mm] v_{1}, [/mm] ... , [mm] v_{k} [/mm] } und { [mm] a_{1}, [/mm] ... , [mm] a_{k} [/mm] } Basen desselben UVR sind!?
2.
Für alle k [mm] \in [/mm] {1,...,n}: Die Determinanten der entsprechenden Matrizen haben jeweils das gleiche Vorzeichen.
Dadurch wäre dann gezeigt, dass sie die selbe Orientierung besitzen!?
MEIN ENDE
So, ich habe nun keine Ahnung, ob das überhaupt der richtige Ansatz ist und selbst wenn, weiss ich nicht wie ich ab diesem Punkt weiter machen soll.
Würde mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen könnte. DANKE schon mal an alle.
Grüße, Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:32 Mi 10.05.2006 | | Autor: | Jan_Z |
Hallo oeli,
irgendwie kommt die Gram-Schmidt-ONB in der Eigenschaft, die sie charakterisieren soll, gar nicht vor, oder? Wie genau habt ihr die Orientierung einer Basis definiert?
Schönen Grüß, Jan
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> Mein kleiner Ansatz:
>
> B:=[mm]b_{1},[/mm] ... , [mm]b_{n}[/mm] sei die ONB, welche sich durch
> das G.-S.-Verfahren auf [mm]v_{1},..., v_{n}[/mm] ergibt.
>
> dann:
>
> B=( [mm]\bruch{ v_{1}}{|| v_{1}||}, \bruch{ v_{2}-< v_{2}, b_{1}> b_{1}}{|| v_{2}-< v_{2}, b_{1}> b_{1}||},[/mm]
> ... , [mm]\bruch{ v_{n}-< v_{n}, b_{1}> b_{1}-< v_{n}, b_{2}> b_{2}- ... - < v_{n}, b_{n-1}> b_{n-1}}{|| v_{n}-< v_{n}, b_{1}> b_{1}-< v_{n}, b_{2}> b_{2}- ... - < v_{n}, b_{n-1}> b_{n-1}||}[/mm]
> )
>
> jetzt wäre doch zu zeigen:
>
> 1.
> Für alle k [mm]\in[/mm] {1,...n}: Alle [mm]a_{i}[/mm] für i=1,...,k sind als
> Linearkombination der Untervektorraumbasen [mm]v_{1},[/mm] ... ,
> [mm]v_{k}[/mm] von V darstellbar.
>
> Dadurch zeigt man dann doch, dass [mm]v_{1},[/mm] ... , [mm]v_{k}[/mm]
> und [mm]a_{1},[/mm] ... , [mm]a_{k}[/mm] Basen desselben UVR > sind!?
Ja, du musst nur zeigen, dass [mm] a_i, [/mm] i=1,..,k, in der linearen Hülle von [mm] v_1,..,v_k [/mm] liegt. Zum Beispiel mit Induktion.
> 2.
> Für alle k [mm]\in[/mm] {1,...,n}: Die Determinanten der
> entsprechenden Matrizen haben jeweils das gleiche
> Vorzeichen.
>
> Dadurch wäre dann gezeigt, dass sie die selbe Orientierung
> besitzen!?
>
Hatte zwar nie Orientierung, aber die Matrizen, die du erhälst, sind nicht quadratisch und besitzen keine Determinante.
Vielleicht kannst du ja noch deine Definition von Orientierung posten.
> MEIN ENDE
>
> So, ich habe nun keine Ahnung, ob das überhaupt der
> richtige Ansatz ist und selbst wenn, weiss ich nicht wie
> ich ab diesem Punkt weiter machen soll.
>
> Würde mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
> DANKE schon mal an alle.
>
> Grüße, Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:13 Mi 10.05.2006 | | Autor: | oeli1985 |
Hallo nochmal,
also eine Orientierung ist eine Äquivalenzklasse von gleichorientierten Basen.
gleichorientiert
seien A,B [mm] \in [/mm] X, A={ [mm] v_{1},..., v_{n} [/mm] }, B={ [mm] w_{1},..., w_{n} [/mm] }
Man definiert einen Endomorphismus F:V [mm] \to [/mm] V (Basiswechsel) durch: F [mm] v_{i} [/mm] = [mm] w_{i} [/mm] für i=1,...,n
Man nennt A und B gleichorientiert, wenn für den Basiswechsel detF>0 gilt.
außerdem noch ein paar Lemmas dazu:
1. Es existiert ein bijektive Abbildung f:X [mm] \to [/mm] GL(n, [mm] \IR) [/mm] mit A={ [mm] v_{1},..., v_{n} [/mm] } [mm] \rightarrow [/mm] f(A)= ( [mm] v_{1},... v_{n} [/mm] )
2. seien A,B zwei Basen von [mm] \IR^{n} [/mm] dann: A und B sind gleichorientiert genau dann, wenn das Produkt von det(f(A)) und det(f(B) größer Null ist.
So mit mehr kann ich leider nicht dienen, habe mir selber auch weiterhin den Kopf darüber zerbrochen, wie ich diese DF und Lemmas anwenden kann, aber bin immer wieder irgendwo gescheitert.
Habe z.B. bzgl. der Df von gleichorientiertheit eine Abbildungsvorschrift F festgelegt, aber das hat mich auch nicht weitergebracht.
Also kann mir jemand helfen?
DANKE schon mal.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:10 Mi 10.05.2006 | | Autor: | Maceo |
Also, ich hab leider nicht viel Zeit, weshalb ich dir den Lösungsansatz nur kurz skizzieren kann:
Erstmal zu zeigen ist:
1) [mm] \forall [/mm] k [mm] \in \{1,...,n\}: [/mm] B = [mm] \{v_{1}, ... , v_{k}\} [/mm] und B' = [mm] \{a_{1}, ... , a_{k}\} [/mm] (ONB zu B) sind Basen desselben UVR U von V.
2) B und B' sind gleichorientiert, d.h. die Determinante des Basiswechsels F
von B nach B' ist größer als 0: det F > 0
zu 1) ist zu zeigen:
i) span B = span B' (über Induktion)
ii) B und B' sind linear unabhängig (sehr einfach: sie sind Teilmengen von Basen, also?)
zu 2) Erstmal kann man die Formel für Gram-Schmidt auch so aufschreiben:
[mm] a_{k} [/mm] = [mm] \bruch{v_{k}}{ \parallel a'_{k} \parallel}- \summe_{i=1}^{k-1} \bruch{}{ \parallel a'_{k} \parallel} a_{i}
[/mm]
Jetzt kannst du damit auf deine Darstellungsmatrix schließen, indem du dir
deine [mm] a_{k} [/mm] als Linearkombination der [mm] v_{k} [/mm] aufschreibst:
[mm] a_{1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{ \parallel v_{1} \parallel} v_{1} [/mm] + 0 [mm] v_{2} [/mm] + .... + 0 [mm] v_{k}
[/mm]
Damit stehen nach Definition der Darstellungsmatrix in in der 1.Spalte:
[mm] a_{11} [/mm] = [mm] \bruch{1}{ \parallel v_{1} \parallel} [/mm] und [mm] a_{12} [/mm] = .... = [mm] a_{1k}= [/mm] 0
Dabei ist [mm] \bruch{1}{ \parallel v_{1} \parallel} \in \IR_{+}
[/mm]
Wenn du das mit [mm] a_{2}, [/mm] ..., [mm] a_{k} [/mm] machst ergibt sich eine obere
Dreiecksmatrix, deren Diagonalelemente reell und positiv sind.
D.h. für die Determinante?
Das war's! ;o)
Grüße,
Georg
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