Orthonorm./symm. Bilinearform < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:58 Mi 09.09.2009 | | Autor: | Wurzel2 |
| Aufgabe | Für alle x,y [mm]\in[/mm] [mm]\IR^3[/mm] sei die symmetrische Bilinearform <x,y>[mm]_{A}[/mm]:=[mm] x^t[/mm]*A*y durch folgende Matrix A definiert
A= [mm]\begin{pmatrix}
1 & -1 & 0 \\
-1 & 2 & 0 \\
0 & 0& 1
\end{pmatrix} [/mm]
Orthonormalisieren Sie die kanonische Basis des [mm]\IR^3[/mm] bezüglich <,>[mm]_A[/mm] |
Hallo.
Ich habe schon angefangen, und bin wie folgt vorgegangen: (v1-v3=e1-e3)
U1= [mm]\bruch {v1} {IIv1II} [/mm]= [mm]\bruch {v1} {} [/mm]
<v1,v1>= (1 0 0)*A*[mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm]= 1
Sodass U1= [mm]\bruch {1} {\wurzel 1}[/mm]=1*[mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm]
U2´=v2-<v2,u1>u1
=[mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] - <v2,u1>*1*[mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm]
Nun ist meine Frage: Wie berechne ich <v2,u1>?
Ich hätte es nun so gemacht: v2*A*u1= [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] *A* [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] = -1
Ich bin damit aber nicht wirklich zu frieden. Kann mir jemand helfen?
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Hallo Wurzel2,
> Für alle x,y [mm]\in[/mm] [mm]\IR^3[/mm] sei die symmetrische Bilinearform
> <x,y>[mm]_{A}[/mm]:=[mm] x^t[/mm]*A*y durch folgende Matrix A definiert
>
> A= [mm]\begin{pmatrix}
1 & -1 & 0 \\
-1 & 2 & 0 \\
0 & 0& 1
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Orthonormalisieren Sie die kanonische Basis des [mm]\IR^3[/mm]
> bezüglich <,>[mm]_A[/mm]
> Hallo.
>
> Ich habe schon angefangen, und bin wie folgt vorgegangen:
> (v1-v3=e1-e3)
>
> U1= [mm]\bruch {v1} {IIv1II} [/mm]= [mm]\bruch {v1} {}[/mm]
>
> <v1,v1>= (1 0 0)*A*[mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm]=
> 1
> Sodass U1= [mm]\bruch {1} {\wurzel 1}[/mm]=1*[mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> U2´=v2-<v2,u1>u1
> =[mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] -
> <v2,u1>*1*[mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Nun ist meine Frage: Wie berechne ich <v2,u1>?
>
> Ich hätte es nun so gemacht: v2*A*u1= [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> *A* [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] = -1
Korrekt lautet das so:
[mm]=v2^{t}*A*u1=\pmat{0 & 1 & 0}*A*\pmat{1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> Ich bin damit aber nicht wirklich zu frieden. Kann mir
> jemand helfen?
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:18 Mi 09.09.2009 | | Autor: | Wurzel2 |
Hallo.
Ja stimmt v2 muss ja transponiert werden. Sorry mein fehler.
Aber deshalb weis ich jetzt leider noch nicht weiter. Was stell ich denn nun mit
(0 1 0) *A* [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm]= -1 an?
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Hallo Wurzel2,
> Hallo.
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> Ja stimmt v2 muss ja transponiert werden. Sorry mein
> fehler.
> Aber deshalb weis ich jetzt leider noch nicht weiter. Was
> stell ich denn nun mit
> (0 1 0) *A* [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm]= -1
> an?
Dieses Ergebnis setzt Du jetzt in
[mm]U2'=v2-u1[/mm]
ein.
Dann ist
[mm]U2'=v2-\left(-1\right)*u1[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:44 Mi 09.09.2009 | | Autor: | Wurzel2 |
Hi!
Danke erst einmal für deine Mühe und Geduld!!!
Ich habe dann für u2´= [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] raus und somit für u2= [mm]\bruch {1} {\wurzel2} [/mm] [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] raus.
Wenn ich nun noch U3´berechne, muss ich ja zum einen <v3,u1> sowie <v3,u2> berechnen. Berechne ich diese Skalarprodukte dann so:
<v3,u2>= (0 0 1)*A* [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] oder muss ich für u2 [mm]\bruch {1} {\wurzel2} [/mm] [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] einsetzten?
Danke im Voraus!!!!
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Hallo Wurzel2,
> Hi!
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> Danke erst einmal für deine Mühe und Geduld!!!
>
> Ich habe dann für u2´= [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> raus und somit für u2= [mm]\bruch {1} {\wurzel2}[/mm]
> [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] raus.
Der Betrag eines Vektors ist natürlcih auch mit dem in der Aufgabe definierten Skalarprodukt auszurechnen.
Damit auch der Betrag eines Vektors:
[mm]\vmat{u2'}=\wurzel{}=\wurzel{\pmat{1 & 1 & 0}*A*\pmat{1 \\ 1 \\ 0}}[/mm]
>
> Wenn ich nun noch U3´berechne, muss ich ja zum einen
> <v3,u1> sowie <v3,u2> berechnen. Berechne ich diese
> Skalarprodukte dann so:
>
> <v3,u2>= (0 0 1)*A* [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> oder muss ich für u2 [mm]\bruch {1} {\wurzel2}[/mm] [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> einsetzten?
Du kannst hier sowohl mit den normierten
als auch mit den nichtnormierten Vektoren rechnen.
>
> Danke im Voraus!!!!
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:52 Mi 09.09.2009 | | Autor: | Wurzel2 |
Hallo.
Danke für deine Hilfe!!! Nun ist mir alles klar! DANKE!
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