Orthogonalmatrix und -basis < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 00:19 Mo 22.01.2007 | | Autor: | Patr1ck |
| Aufgabe | 1. Im [mm] R^4 [/mm] mit den Standard Sklararprodukt gibt es die Vektoren: a1=(1,1,-1,-2),a2=(5,8,-2,-3) und a3=(3,9,3,8). Gesucht ist die Matrix der linearen Abbildung der Projektion auf den Unterraum span{(a1,a2,a3)}.
2. Betrachte R² mit Skalarprodukt < , >. Für die Linear unabhängige menge {a1,a2} und {a1',a2'} gelte: für alle i,j € {1,2} ist <a1,a2> = <a1‘,a2‘>.
A) Zeige: Es gibt eine orthogonale Abbildung f, so dass für i € {1,2} gilt f(ai) = ai‘
B) Finde ein Gegenbeispiel zu Aussage A wenn {a1,a2} und {a1‘,a2‘} nicht linear unabhängig sind. |
Hallo
Ich sitze jetzt schon locker 4 Stunden über zwei meiner Mathe Aufgaben und hab noch nicht mal einen Ansatz gefunden. Ich habe irgendwie den roten Faden in den Euklidischen Räumen verloren. Es wäre toll wenn ihr mir bei den Aufgaben helfen könntet, ich hab jetzt schon Stünden Bücher, Hefter, Übungen und Internet durchwühlt und nix gefunden wie ich etwas "Orthogonales" ausrechnen kann.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: uni-protokolle.de
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> 1. Im [mm]R^4[/mm] mit den Standard Sklararprodukt gibt es die
> Vektoren: a1=(1,1,-1,-2),a2=(5,8,-2,-3) und a3=(3,9,3,8).
> Gesucht ist die Matrix der linearen Abbildung der
> Projektion auf den Unterraum span{(a1,a2,a3)}.
ich hab jetzt schon Stünden
> Bücher, Hefter, Übungen und Internet durchwühlt und nix
> gefunden wie ich etwas "Orthogonales" ausrechnen kann.
Hallo,
das passnde Sichwort für die Orthogonalisierung der Basis ist das Gram-Schmidsche-Orthonogonalilisierungsverfahren, welches Du in jedem Buch über Lineare Algebra finden müßtest (Manchmal wird Herr Gram auch unterschlagen); auch ![[]](/images/popup.gif) hier kannst Du nachlesen, wie es geht.
Danach kannst du dann die Matrix der orthogonalen Projektion von [mm] \\IR^4 [/mm] auf span{(a1,a2,a3)} bestimmen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:56 Mo 22.01.2007 | | Autor: | Patr1ck |
Danke schonmal. Das Orthogonalisierungsverfahren ist mir schonmal begegnet, aber so recht kann ich nix damit anfangen, also ich würde das jetzt anwenden und bekomme dann aus den drei Basisvektoren drei neue Vektoren heraus. Die Frage ist: Was muss ich dann genau mit den Vektoren machen? Irgendwie fehlt mir bei den ganzen Orthogonalisierungsgebiet das allgemeine Versändnis.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:26 Mo 22.01.2007 | | Autor: | Patr1ck |
So ich habe jetzt die Vektoren nach den Verfahren ausgerechnet und komme auf:
u1=a1, u2=(2,5,1,3),u3=(6,6,-6,-12) und habe damit als Matrix:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 6\\ 1 & 5 & 6 \\ -1 & 1 & -6 \\ -2 & 3 & -12}
[/mm]
Stimmt das so?
Achja: Gibt es Vorschläge für meine 2te Frage.
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> So ich habe jetzt die Vektoren nach den Verfahren
> ausgerechnet und komme auf:
>
> u1=a1, u2=(2,5,1,3),u3=(6,6,-6,-12) und habe damit als
> Matrix:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 6\\ 1 & 5 & 6 \\ -1 & 1 & -6 \\ -2 & 3 & -12}[/mm]
>
> Stimmt das so?
Hast Du geprüft, ob die Vektoren, die Du errechnet hast paarweise orthogonal sind?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:38 Mo 22.01.2007 | | Autor: | Patr1ck |
Ja hab ich und naja sie sind es nicht ganz. <u1,u3> != 0. hmm was kann ich da jetzt machen?
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> Ja hab ich und naja sie sind es nicht ganz. <u1,u3> != 0.
> hmm was kann ich da jetzt machen?
Das was man in solche einem Falle tut: nochmal rechnen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:01 Mo 22.01.2007 | | Autor: | Patr1ck |
Ich habs natürlich selber schon nachgerechnet und ich hab keinen fehler entdeck, zumal ja auch <u1,u2>=<u2,u3>=0 stimmt. Bei der Aufgabe war noch der Hinweis das die Basisvektoren nicht unbedingt lin. unabhängig sind, das spielt da bestimmt irendwie ne Rolle.
Wenn ich dann die Basen habe, weiß leider immer noch nicht wie ich auf die Matrix komme, also die Projektion ist ja <v-u,U>=0 für vV,uU und U [mm] \subset [/mm] V. Wie gesagt: Paralellen zur Matrixdarstellung hab ich nirgendswo gefunden.
Es wäre toll wenn du mir noch den (kleinen?) gemeinen letzten Schritt zeigen könntest.
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> Ich habs natürlich selber schon nachgerechnet und ich hab
> keinen fehler entdeck, zumal ja auch <u1,u2>=<u2,u3>=0
> stimmt. Bei der Aufgabe war noch der Hinweis das die
> Basisvektoren nicht unbedingt lin. unabhängig sind, das
> spielt da bestimmt irendwie ne Rolle.
Oh, in der Tat.
Das Verfahren funktioniert natürlich nur, wenn man mit einer Basis startet, was natürlich nicht der Fall ist, wenn die Vektoren abhängig sind.
Im Prinzip hast Du Dir die Antwort ja schon selbst gegeben.
Filtere aus den gegebenen Vektoren eine Basis aus, indem Du den/die abhängigen herauswirfst. Dann orthogonalisieren und normalisieren.
>
> Wenn ich dann die Basen habe, weiß leider immer noch nicht
> wie ich auf die Matrix komme, also die Projektion ist ja
> <v-u,U>=0 für vV,uU und U [mm]\subset[/mm] V. Wie gesagt:
> Paralellen zur Matrixdarstellung hab ich nirgendswo
> gefunden.
>
> Es wäre toll wenn du mir noch den (kleinen?) gemeinen
> letzten Schritt zeigen könntest.
In Matrizendarstellung wirst Du es vermutlich nicht nachlesen können - ein bißchen Kreativität muß sein.
Was bedeutet die Projektion von x auf einen Unterraum U?
Man zerlegt x dergestalt, daß [mm] x=x_U+v [/mm] mit v [mm] \perp [/mm] U.
[mm] x_U [/mm] ist dann die orthogonale Projektion.
Den (kleinen) Beweis werde ich Dir nicht aufrollen, man kann ihn im Buch nachlesen, jedenfalls erhält man, sofern man eine Orthonormalbasis [mm] (b_1,...,b_n) [/mm] von U hat,
[mm] x_U [/mm] wie folgt:
[mm] P_U(x)=x_U=\summe_{i=1}^{n}b_i
[/mm]
Nun ist ja jede lineare Abbildung durch Ihr Bild auf einer Basis eindeutig bestimmt, und die darstellende Matrix bekommst Du, indem Du das jeweilige Bild in die Spalten schreibst.
Gruß v. Angela
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> Das Orthogonalisierungsverfahren ist mir
> schonmal begegnet, aber so recht kann ich nix damit
> anfangen,
Du kannst, wenn Du dem Algorithmus folgst, aus einer gegebenen Basis eine Orthogonalbasis, welche denselben Raum erzeugt, aufspannen.
Das Funktionsprinzip dieses Verfahrens ist doch in dem Wikipedia-Artikel, dessen link ich Dir gesagt hatte, erklärt.
Es mag fürs Verständnis auch hilfreich sein, wenn Du das Verfahren mal im zweidimensionalen Fall parallel zeichnend und rechnend ausführst.
also ich würde das jetzt anwenden und bekomme
> dann aus den drei Basisvektoren drei neue Vektoren heraus.
> Die Frage ist: Was muss ich dann genau mit den Vektoren
> machen?
Diese Vektoren normierst Du, dann hast Du eine Orthonormalbasis.
Dann kannst du in Deinem Buch gucken unter "orthogonale Projektion". Dort wirst Du erfahren, wie Du, wenn Du eine ONB des Raumes, auf den zu projezieren ist, hast, sehr einfach das Bild eines beliebigen Vektors unter der Projektion ausrechnen kannst.
Irgendwie fehlt mir bei den ganzen
> Orthogonalisierungsgebiet das allgemeine Versändnis.
Dann wirst Du einiges nacharbeiten und dem Verständnis auf die Sprünge helfen müssen. Ich denke, wir können hier spezielle Fragen klären, aber nicht das ganze Gebiet aufrollen. Nimm Dir ein Buch, welches halbwegs zur Vorlesung paßt.
Für die Klausur solltest Du sicher Gram-Schmidt beherrschen, im Notfall halt mechanisch, wie ein dressierter Schimpanse.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Mi 24.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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