Orthogonalität vierdim. Raum < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:38 Mo 25.11.2013 | | Autor: | drahmas |
| Aufgabe | Gegeben sind die beiden Vektoren [mm] x_1:= \pmat{ 1 & 2 &-2 & -1} x_2:= \pmat{ -2 & 1 &1 & -2}
[/mm]
a) Bestimmen Sie zwei weitere Vektoren [mm] x_3 [/mm] und [mm] x_4 [/mm] derart, dass [mm] x_3 [/mm] zu [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] und [mm] x_4 [/mm] zu [mm] x_1, x_2 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] orthogonal sind.
b) Normieren Sie alle vier Vektoren, sodass diese eine orthonormierte Basis im vierdimensionalen Vektorraum darstellen. |
Hallo,
wie kann ich denn im vierdimensionalen Raum orthogonale Vektoren bestimmen?
Im dreidimensionalen Raum würde ich das ja mittels des Kreuzprodukts machen, wie jedoch in diesem Zusammenhang?
In diesem Fall sollen ja die beiden Vektoren [mm] x_3 [/mm] und [mm] x_4 [/mm] gleich zu mindestens zwei Vektoren orthogonal sein. Wie mache ich das?
Besten Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:44 Mo 25.11.2013 | | Autor: | abakus |
> Gegeben sind die beiden Vektoren [mm]x_1:= \pmat{ 1 & 2 &-2 & -1} x_2:= \pmat{ -2 & 1 &1 & -2}[/mm]
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> a) Bestimmen Sie zwei weitere Vektoren [mm]x_3[/mm] und [mm]x_4[/mm] derart,
> dass [mm]x_3[/mm] zu [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] und [mm]x_4[/mm] zu [mm]x_1, x_2[/mm] und [mm]x_3[/mm]
> orthogonal sind.
> b) Normieren Sie alle vier Vektoren, sodass diese eine
> orthonormierte Basis im vierdimensionalen Vektorraum
> darstellen.
> Hallo,
>
> wie kann ich denn im vierdimensionalen Raum orthogonale
> Vektoren bestimmen?
> Im dreidimensionalen Raum würde ich das ja mittels des
> Kreuzprodukts machen, wie jedoch in diesem Zusammenhang?
>
> In diesem Fall sollen ja die beiden Vektoren [mm]x_3[/mm] und [mm]x_4[/mm]
> gleich zu mindestens zwei Vektoren orthogonal sein. Wie
> mache ich das?
>
> Besten Dank
Hallo,
setze den dritten Vektor als [mm] \vektor{a\\ b\\c\\d}[/mm]an und bilde das Skalarprodukt mit dem ersten bzw. mit dem zweiten Vektor. Es muss jeweils 0 herauskommen.
Dann weiter mit dem vierten Vektor.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:14 Mo 25.11.2013 | | Autor: | drahmas |
Hallo,
danke für deine Antwort.
Ich habe das dann folgendermaßen angeschrieben:
[mm] \vektor{1 \\ 2 \\ -2 \\ -1}*\vektor{a \\ b \\ c \\ d}=1a+2b-2c-1d=0
[/mm]
[mm] \vektor{-2 \\ 1 \\ 1 \\ -2}*\vektor{a \\ b \\ c \\ d}=-2a+1b-1c-2d=0
[/mm]
Wie erhalte ich daraus jetzt [mm] \vec{x_3}?
[/mm]
Danke und schöne Grüße
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> Hallo,
>
> danke für deine Antwort.
> Ich habe das dann folgendermaßen angeschrieben:
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> [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ -2 \\ -1}*\vektor{a \\ b \\ c \\ d}=1a+2b-2c-1d=0[/mm]
>
> [mm]\vektor{-2 \\ 1 \\ 1 \\ -2}*\vektor{a \\ b \\ c \\ d}=-2a+1b-1c-2d=0[/mm]
>
> Wie erhalte ich daraus jetzt [mm]\vec{x_3}?[/mm]
>
> Danke und schöne Grüße
Hallo,
du musst nur das Gleichungssystem lösen, zum Beispiel mit dem Gaus Algorithmus.
Gruß helicopter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:49 Mo 25.11.2013 | | Autor: | drahmas |
Hallo,
danke dir für die Antwort.
Wie kann ich denn zwei Gleichungen mit vier unbekannten lösen?
Brauche ich nicht insgesamt vier Gleichungen wenn ich vier unbekannte habe?
Da blicke ich jetzt leider gerade nicht ganz durch…
Besten Dank noch mal.
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Hiho,
> Wie kann ich denn zwei Gleichungen mit vier unbekannten lösen?
Da solltest du einige Verfahren in der Schule und der Uni kennengelernt haben.
> Brauche ich nicht insgesamt vier Gleichungen wenn ich vier unbekannte habe?
Nur, wenn du das Gleichungssystem eindeutig lösen wollen würdest. Macht ja hier aber gar keinen Sinn.
Du erhälst dann eben 2 freie Paramter, die du frei wählen kannst, erhälst also eine Vielzahl an Vektoren. (Ist ja auch klar, wenn man sich das mal überlegt. Es gibt ja mehr als einen Vektor, der senkrecht auf den beiden gegeben steht)
Suche dir daraus einen aus.
Gruß,
Gono.
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