Orthogonalität und Norm < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:11 Di 17.05.2005 | | Autor: | Maiko |
Bei folgender Aufgabe gelange ich nicht ans Ziel:
Es ist nachzuweisen, daß die Funktionen cos(m*x) {m>=0} , sin(m*x) {m>0} im Intervall [0 , 2*Pi] orthogonal zueinander sind. Weiterhin ist die
Norm dieser Funktionen zu berechnen.
Könnte mir hier jmd. mal einen Ansatz geben?
Ich habe folgende Formeln zur Verfügung:
Orthogonalität bedeutet ja Skalarprodukt beider Funktionen = 0
Die Formel für das Skalarprodukt lautet:
(f,g) = [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] {f(x)*g(x) dx}
Wenn ich jetzt beide Funktionen einsetze und mir das mit dem Taschenrechner berechnen lasse, kommt folgendes raus:
(f,g) = [mm] \integral_{0}^{2\pi} [/mm] {cos(m*x)*sin(m*x) dx} = [mm] \bruch{sin(2m*\pi)^{2}}{2m}
[/mm]
Leider ist das ja nicht gleich 0... Was habe ich da falsch gemacht?
Für die Norm habe ich folgende Gleichung:
|f| = [mm] \wurzel{\integral_{a}^{b} {f(x)^{2}*dx}}
[/mm]
Hier bin ich soweit gelangt:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Irgendwie bekomme ich aber die m's nicht raus, sodass ich das ganze nicht richtig berechnen kann.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:22 Di 17.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo Maiko
> Bei folgender Aufgabe gelange ich nicht ans Ziel:
>
> Es ist nachzuweisen, daß die Funktionen cos(m*x) {m>=0} ,
> sin(m*x) {m>0} im Intervall [0 , 2*Pi] orthogonal
> zueinander sind. Weiterhin ist die
> Norm dieser Funktionen zu berechnen.
>
> Könnte mir hier jmd. mal einen Ansatz geben?
>
> Ich habe folgende Formeln zur Verfügung:
>
> Orthogonalität bedeutet ja Skalarprodukt beider Funktionen
> = 0
> Die Formel für das Skalarprodukt lautet:
>
> (f,g) = [mm]\integral_{a}^{b}[/mm] {f(x)*g(x) dx}
>
> Wenn ich jetzt beide Funktionen einsetze und mir das mit
> dem Taschenrechner berechnen lasse, kommt folgendes raus:
>
> (f,g) = [mm]\integral_{0}^{2\pi}[/mm] {cos(m*x)*sin(m*x) dx} =
> [mm]\bruch{sin(2m*\pi)^{2}}{2m}[/mm]
>
> Leider ist das ja nicht gleich 0... Was habe ich da falsch
> gemacht?
>
Soviel ich weiss, gilt doch:
[mm] $\sin(2m\pi)=0$ [/mm] für $m [mm] \in \IZ$
[/mm]
damit wäre die Orthogonalität doch gegeben.
Kann es sein, dass es bereits etwas spät am Abend ist? 
> Für die Norm habe ich folgende Gleichung:
>
> |f| = [mm]\wurzel{\integral_{a}^{b} {f(x)^{2}*dx}}[/mm]
>
> Hier bin ich soweit gelangt:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Irgendwie bekomme ich aber die m's nicht raus, sodass ich
> das ganze nicht richtig berechnen kann.
Hier gilt doch genau das Gleiche, wie bereits oben bemerkt.
Die Norm müsste also für beide Funktionene umabhängig des Wertes von $m_$ den Wert [mm] $\pi$ [/mm] haben.
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:34 Di 17.05.2005 | | Autor: | Maiko |
Ich bedanke mich für deine schnelle Antwort 
Mach noch ein Stündchen und geh dann auch schlafen.
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