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| Aufgabe | | Bestimmen sie einen Vektor, der auf den Vektoren b=(2,3,4) und c=(1,0,1) senkrecht steht und die Länge eins hat. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich hoffe jemand kann meine Lösung anschauen und mir sagen, ob mein Ansatz richtig ist bzw ob das die übliche Art ist solche Aufgaben zu lösen. Danke.
Ges: Vektor v
Es muss also gelten:
v*b=0 -> senkrecht zu b
v*c=0 -> senkrecht zu c
[mm] \wurzel{v*v}=\wurzel{1} [/mm] -> Länge/Betrag: 1
Gleichungsystem:
2v1+3v2+4v3=0 (I)
v1+v3=0 (II)
[mm] \wurzel{v1*v1+v2*v2+v3*v3}=1 [/mm] (III)
aus (II) v1=-v3
in (I) -2v3+3v2+4v3=0 -> v2=-2/3v3
in (III) [mm] \wurzel{-v3*-v3+-2/3v3*-2/3v3+v3*v3}=1
[/mm]
-> [mm] \wurzel{v3²+4/9v3²+v3²}=1
[/mm]
-> [mm] \wurzel{22/9v3²}=1
[/mm]
--> v3=0,64 -> v1=-0,64 und v2=-0,43 -> v=(-0,64, -0,43, 0,64)
Probe:
Betrag: ~1.
und v*b bzw v*c sind 0.
Also das Ergebnis müsste stimmen, wie gesagt es interessiert mich ob die Herangehensweise die richtige ist, oder ob es einfachere Möglichkeiten gibt. Diese Art der Lösung fiel mir eben vorhin spontan ein und es hat augenscheinlich funktioniert.
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Hallo UmbertoGecko,
> Bestimmen sie einen Vektor, der auf den Vektoren b=(2,3,4)
> und c=(1,0,1) senkrecht steht und die Länge eins hat.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich hoffe jemand kann meine Lösung anschauen und mir
> sagen, ob mein Ansatz richtig ist bzw ob das die übliche
> Art ist solche Aufgaben zu lösen. Danke.
>
> Ges: Vektor v
>
> Es muss also gelten:
>
> v*b=0 -> senkrecht zu b
> v*c=0 -> senkrecht zu c
> [mm]\wurzel{v*v}=\wurzel{1}[/mm] -> Länge/Betrag: 1
>
>
>
> Gleichungsystem:
> 2v1+3v2+4v3=0 (I)
> v1+v3=0 (II)
> [mm]\wurzel{v1*v1+v2*v2+v3*v3}=1[/mm] (III)
>
> aus (II) v1=-v3
> in (I) -2v3+3v2+4v3=0 -> v2=-2/3v3
> in (III) [mm]\wurzel{-v3*-v3+-2/3v3*-2/3v3+v3*v3}=1[/mm]
> -> [mm]\wurzel{v3²+4/9v3²+v3²}=1[/mm]
> -> [mm]\wurzel{22/9v3²}=1[/mm]
> --> v3=0,64 -> v1=-0,64 und v2=-0,43 -> v=(-0,64, -0,43, 0,64)
>
>
> Probe:
> Betrag: ~1.
Ok, das habe ich noch nachgerechnet, wenn du ansonsten [mm]vb=vc=0[/mm] raus hast, wird das grob gerundet stimmen!
> und v*b bzw v*c sind 0.
>
> Also das Ergebnis müsste stimmen, wie gesagt es
> interessiert mich ob die Herangehensweise die richtige ist,
> oder ob es einfachere Möglichkeiten gibt. Diese Art der
> Lösung fiel mir eben vorhin spontan ein und es hat
> augenscheinlich funktioniert.
Nun, im [mm]\IR^3[/mm] kannst du doch einfach das Kreuzprodukt der beiden Vektoren [mm]b,c[/mm] berechnen, also [mm]b\times c[/mm]
Das ergibt einen Vektor [mm]u[/mm], der zu beiden senkrecht steht.
Bei Bedarf normierst du dann [mm]u[/mm], berechnest also [mm]||u||[/mm] und nenne [mm]\frac{u}{||u||}=:v[/mm]
(Vektor geteilt durch seine Länge ergibt einen normierten Vektor)
Gruß
schachuzipus
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Vielen Dank, werde das gleich mal testen.
Geg.:
b=(2,3,4) und c=(1,0,1)
v=b x c
"Nebenrechnung:"
2 3 4
1 0 1
->
v = (3, 2, -3)
[mm] |v|=\wurzel{3²+2²+(-3)²} [/mm] = [mm] \wurzel{22}
[/mm]
$ [mm] \frac{v}{|v|}= \frac{1}{\wurzel{22}} [/mm] * [mm] \vektor{3 \\ 2 \\ -3} [/mm] = [mm] \vektor{0,64 \\ 0,43 \\ -0,64}$
[/mm]
entspricht meinem ersten Ergebnis: v=(-0,64, -0,43, 0,64).
Prima. Danke nochmal für den Tipp.
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