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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:40 So 17.07.2011 | | Autor: | paula_88 |
| Aufgabe | Zu erstellen ist eine Orthogonalbasis aus Eigenvektoren von A.
[mm] A=\pmat{ 2 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 2 } [/mm] |
Hallo an alle,
ich habe noch nie eine Orthogonalbasis erstellt, bin mir also nicht ganz sicher, ob meine Lösung richtig ist, da ich es einfach analog zu einem Wikipedia-Beispiel versucht habe.
Folgendes habe ich gerechnet:
Die Eigenwerte der Matrix sind 0,4,4.
Für den Eigenraum des EW 0 habe ich den Eigenvektor [mm] b_{1}=\vektor{1 \\ 0 \\ -1}.
[/mm]
Für den Eigenraum zum doppelten EW 4 habe ich das Gleichungssystem -2x-2z=0 heraus und somit die Eigenvektoren [mm] b_{2}=\vektor{1 \\ 0 \\ -1} [/mm] und [mm] b_{3}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}. [/mm] Hier bin ich mir aber nicht so sicher, könnte das bitte einer prüfen? 
Nun habe ich meinen ersten Vektor [mm] b_{1} [/mm] als [mm] v_{1} [/mm] definiert und [mm] v_{2} [/mm] wie folgt berechnet:
[mm] v_{2}=v_{1}-\bruch{}{}\cdotv_{1}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
analog zur Definition von Wikipedia habe ich [mm] v_{3}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}.
[/mm]
Sind diese berechnungen erstmal prinzipiell richtig oder habe ich was vergessen?
Wie schreibe ich die Orthonormalbasis dann auf, als 3x3 Matrix oder als Lösungsmenge von 3 Vektoren?
Viele Grüße, Paula
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Hi,
> Zu erstellen ist eine Orthogonalbasis aus Eigenvektoren von
> A.
> [mm]A=\pmat{ 2 & 0 & 2 \\
0 & 4 & 0 \\
2 & 0 & 2 }[/mm]
> Hallo an
> alle,
> ich habe noch nie eine Orthogonalbasis erstellt, bin mir
> also nicht ganz sicher, ob meine Lösung richtig ist, da
> ich es einfach analog zu einem Wikipedia-Beispiel versucht
> habe.
>
> Folgendes habe ich gerechnet:
> Die Eigenwerte der Matrix sind 0,4,4.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Für den Eigenraum des EW 0 habe ich den Eigenvektor
> [mm]b_{1}=\vektor{1 \\
0 \\
-1}.[/mm]
> Für den Eigenraum zum
> doppelten EW 4 habe ich das Gleichungssystem -2x-2z=0
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> heraus und somit die Eigenvektoren [mm]b_{2}=\vektor{1 \\
0 \\
-1}[/mm]
> und [mm]b_{3}=\vektor{0 \\
1 \\
0}.[/mm] Hier bin ich mir aber nicht
> so sicher, könnte das bitte einer prüfen?
Du hast doch die Matrix:
[mm] \left[ \begin {array}{ccc} 2&0&-2\\
\noalign{\medskip}0&0&0
\\
\noalign{\medskip}-2&0&2\end {array} \right] \rightsquigarrow\left[ \begin {array}{ccc} 1&0&-1\\
\noalign{\medskip}0&0&0
\\
\noalign{\medskip}0&0&0\end {array} \right]
[/mm]
>
> Nun habe ich meinen ersten Vektor [mm]b_{1}[/mm] als [mm]v_{1}[/mm] definiert
> und [mm]v_{2}[/mm] wie folgt berechnet:
>
> [mm]v_{2}=v_{1}-\bruch{}{}\cdotv_{1}=\vektor{0 \\
0 \\
0}[/mm]
Das darf aber kein Basisvektor sein!
>
> analog zur Definition von Wikipedia habe ich
> [mm]v_{3}=\vektor{0 \\
1 \\
0}.[/mm]
>
> Sind diese berechnungen erstmal prinzipiell richtig oder
> habe ich was vergessen?
> Wie schreibe ich die Orthonormalbasis dann auf, als 3x3
> Matrix oder als Lösungsmenge von 3 Vektoren?
einfach [mm] $b_1=\ldots,b_2=\ldots,b_3=\ldots$ [/mm]
>
> Viele Grüße, Paula
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 So 17.07.2011 | | Autor: | paula_88 |
Hey,
das habe ich jetzt erst gesehen, dass ich mich beim Eigenraum vom EW 4 vertan habe.
Ich habe nochmal nachgerechnet und folgende Eigenvektoren herausbekommen:
[mm] b_{1}=\vektor{1 \\ 0 \\ -1}
[/mm]
[mm] b_{2}=\vektor{1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
[mm] b_{3}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
und daraufhin habe ich für die Orthonormalbasis folgende Vektoren errechnet:
[mm] v_{1}=\vektor{1 \\ 0 \\ -1}
[/mm]
[mm] v_{2}=\vektor{1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
[mm] v_{3}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
Kann das so hinkommen? Und ist das schon das ganze Prinzip des orthogonalisierens? Die Eigenvektoren berechnen und dann nur in die Gram-Schmidt "Formel" quasi einsetzen?
Viele Grüße, Paula
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