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| Aufgabe | Sei [mm] \IR^{3}
[/mm]
mit dem Standartskalarprodukt und
[mm] \pmat{2 & −1 & 1 \\ −1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2\\}\in [/mm] M(3 × 3, [mm] \IR [/mm] )
die darstellende Matrix für den zugehörigen Endomorphismus. Finden Sie eine orthogonale Matrix S [mm] \in GL(\IR^{3}), [/mm] so dass [mm] S^{T}AS [/mm] eine Diagonalmatrix ist und geben Sie die Matrix D = [mm] S^{T}AS [/mm] an. |
Hallo,
Ich versuch schon den ganzen Tag die Aufgabe zu lösen, aber bin bisher nicht weiter gekommen.
Ich habe die Eigenwerte bestimmt und mit Mathematica geprüft, sowie 3 Eigenvektoren bestimmt, von denen 2 mit Mathematica übereinstimmen,
Also nächstes wollte ich die Eigenvektoren orthogonalisieren um diese Vektoren dann normiert in die Matrix S einzutragen. Wo ist mein Fehler?
Im Anhang habe ich 2 Dokumente in denen meine und Mathematicas Rechnung ist.
https://dl.dropboxusercontent.com/u/53617709/Rechnung.pdf
https://dl.dropboxusercontent.com/u/53617709/Mathematica.pdf
PS: verwundert mich doch sehr, da die Matrix auf diesem Weg ja sowieso eine Diagonalmatrix werden sollte.
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Hallo roydebatzen,
> Sei [mm]\IR^{3}[/mm]
> mit dem Standartskalarprodukt und
> [mm]\pmat{2 & −1 & 1 \\ −1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2\\}\in[/mm] M(3
> × 3, [mm]\IR[/mm] )
> die darstellende Matrix für den zugehörigen
> Endomorphismus. Finden Sie eine orthogonale Matrix S [mm]\in GL(\IR^{3}),[/mm]
> so dass [mm]S^{T}AS[/mm] eine Diagonalmatrix ist und geben Sie die
> Matrix D = [mm]S^{T}AS[/mm] an.
>
> Hallo,
>
> Ich versuch schon den ganzen Tag die Aufgabe zu lösen,
> aber bin bisher nicht weiter gekommen.
> Ich habe die Eigenwerte bestimmt und mit Mathematica
> geprüft, sowie 3 Eigenvektoren bestimmt, von denen 2 mit
> Mathematica übereinstimmen,
> Also nächstes wollte ich die Eigenvektoren
> orthogonalisieren um diese Vektoren dann normiert in die
> Matrix S einzutragen. Wo ist mein Fehler?
>
Nun, die Eigenvektoren zu den Eigenwerten 3 und 0 sind richtig.
Die Eigenvektoren zu dem Eigenwert 3 und zu dem Eigenwert 0
sind schon orthogonal, so daß auf die Eigenwerte zum Eigenwert 3
Gram-Schmidt anzuwenden ist.
Auch wenn Du für alle Eigenvektoren Gram-Schmidt anwendest,
dann muss der letzte Vektor, der mit Gram-Schmidt berechnet wurde,
identisch mit dem Eigenvektor zum Eigenwert 0 sein.
Dies ist bei Deiner Rechnung jedoch nicht der Fall.
> Im Anhang habe ich 2 Dokumente in denen meine und
> Mathematicas Rechnung ist.
>
> https://dl.dropboxusercontent.com/u/53617709/Rechnung.pdf
>
> https://dl.dropboxusercontent.com/u/53617709/Mathematica.pdf
>
>
> PS: verwundert mich doch sehr, da die Matrix auf diesem Weg
> ja sowieso eine Diagonalmatrix werden sollte.
Gruss
MathePower
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| Aufgabe | Sei [mm] \IR^{3}
[/mm]
mit dem Standartskalarprodukt und
[mm] \pmat{2 & −1 & 1 \\ −1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2\\}∈ [/mm] M(3 × 3, [mm] \IR [/mm] )
die darstellende Matrix für den zugehörigen Endomorphismus. Finden Sie eine orthogonale Matrix S [mm] ∈GL(\IR^{3}), [/mm] so dass [mm] S^{T}AS [/mm] eine Diagonalmatrix ist und geben Sie die Matrix D = [mm] S^{T}AS [/mm] an. |
Hi Mathepower,
mir fällt grad was Entscheidendes auf, die Matrix hat nicht vollen Rang. Demnach sind die Zeilen nicht linear unabhängig. Dies sollte doch eigentlich gegeben sein bei einer diagonalisierbaren Matrix oder nicht?
Ich habe deinen Hinweis verarbeitet und die Eigenvektoren neu berechnet, der Link ist der Alte. Die Diagonalgestalt stellt sich aber weiterhin nicht ein.
Ich wäre dankbar falls du eine Lösung posten könntest. Ich habe den ganzen Tag an dieser Aufgabe gesessen und denke ich würde jetzt mehr draus lernen, wenn ich die Lösung sehen würde.
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Hallo roydebatzen,
> Sei [mm]\IR^{3}[/mm]
> mit dem Standartskalarprodukt und
> [mm]\pmat{2 & −1 & 1 \\ −1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2\\}∈[/mm] M(3
> × 3, [mm]\IR[/mm] )
> die darstellende Matrix für den zugehörigen
> Endomorphismus. Finden Sie eine orthogonale Matrix S
> [mm]∈GL(\IR^{3}),[/mm] so dass [mm]S^{T}AS[/mm] eine Diagonalmatrix ist und
> geben Sie die Matrix D = [mm]S^{T}AS[/mm] an.
>
>
> Hi Mathepower,
>
> mir fällt grad was Entscheidendes auf, die Matrix hat
> nicht vollen Rang. Demnach sind die Zeilen nicht linear
> unabhängig. Dies sollte doch eigentlich gegeben sein bei
> einer diagonalisierbaren Matrix oder nicht?
>
Nicht unbedingt..
Hier hat die Matrix den Eigenwert 0,
daher hat sie auch nicht vollen Rang.
> Ich habe deinen Hinweis verarbeitet und die Eigenvektoren
> neu berechnet, der Link ist der Alte. Die Diagonalgestalt
> stellt sich aber weiterhin nicht ein.
>
Die Matrix S ist aber richtig.
Bei der Diagonalmatrix stehen die Eigenwerte auf der Diagonalen.
> Ich wäre dankbar falls du eine Lösung posten könntest.
> Ich habe den ganzen Tag an dieser Aufgabe gesessen und
> denke ich würde jetzt mehr draus lernen, wenn ich die
> Lösung sehen würde.
>
Gruss
MathePower
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Hsllo mathepower,
ich check es nicht. Du sagst die Matrix S sei richtig, aber es funktioniert ja nicht.
Nach Multiplikation in der vorgegebenen Reihenfolge kommt keine Diagonalmatrix bei raus.
Ich habe mehrfach das char. Pol. nachgerechnet. Die Eigenwerte mit Mathematica überprüft, auch die Eigenvektoren. Ich habe Gram-Schmidt in den unterschiedlichsten Weisen angewendet, zu Letzt in der von dir beschriebenen, wobei ich nur die beiden Eigenvektoren zum Eigenwert 3 orthogonalisiert habe, aber es funktioniert alles nicht.
Ich habe selbst mit meinen orthogonalisierten genormten Eigenvektoren keine Diagonalgestalt und ich verstehe nicht warum nicht.
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Hallo roydebatzen,
> Hsllo mathepower,
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> ich check es nicht. Du sagst die Matrix S sei richtig, aber
> es funktioniert ja nicht.
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> Nach Multiplikation in der vorgegebenen Reihenfolge kommt
> keine Diagonalmatrix bei raus.
>
Ich habe mit der Matrix
[mm]S=\[\begin{pmatrix}0 & \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{3}}\cr \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}\,\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{3}}\cr \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}\,\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}}\end{pmatrix}\][/mm]
gerechnet.
Dann erhält man
[mm]D=S^{T}AS=\[\begin{pmatrix}3 & 0 & 0\cr 0 & 3 & 0\cr 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\][/mm]
> Ich habe mehrfach das char. Pol. nachgerechnet. Die
> Eigenwerte mit Mathematica überprüft, auch die
> Eigenvektoren. Ich habe Gram-Schmidt in den
> unterschiedlichsten Weisen angewendet, zu Letzt in der von
> dir beschriebenen, wobei ich nur die beiden Eigenvektoren
> zum Eigenwert 3 orthogonalisiert habe, aber es funktioniert
> alles nicht.
>
> Ich habe selbst mit meinen orthogonalisierten genormten
> Eigenvektoren keine Diagonalgestalt und ich verstehe nicht
> warum nicht.
Gruss
MathePower
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Hi,
ich hab eben nochmal deine Lösung in Mathematica durchgetippt und es gbt mir aus, das auch dort keine Diagonalmatrix bei rauskommt. Der Link im Anhang:
https://dl.dropboxusercontent.com/u/53617709/Mathematica2.pdf
Sorry, ich verzweifel gerade....
Wie kommst du denn auf den Eintrag in der Feldern 2,2 und 3,2 deiner Matrix S?
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Ok, vielen lieben Dank.
Hat sich in so fern erledigt dass ich nach gut 14 Stunden gelernt habe, dass Matrizen in Mathematica anders multipliziert werden
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Hallo roydebatzen,
> Hi,
>
> ich hab eben nochmal deine Lösung in Mathematica
> durchgetippt und es gbt mir aus, das auch dort keine
> Diagonalmatrix bei rauskommt. Der Link im Anhang:
>
> https://dl.dropboxusercontent.com/u/53617709/Mathematica2.pdf
>
> Sorry, ich verzweifel gerade....
Ich hab seit langem nicht mehr Mathematica gearbeitet.
Kann es sein, daß es für Matrizenoperationen den Punktoperator gibt?
Dann müsste das nämlich so lauten:
Transpose[S].F.S // MatrixForm
> Wie kommst du denn auf den Eintrag in der Feldern 2,2 und
> 3,2 deiner Matrix S?
>
Die Matrix gibt mir Maxima so aus.
Gruss
MathePower
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