Orthogonale Vektoren bestimmen < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:01 Sa 21.04.2012 | | Autor: | kullinarisch |
| Aufgabe | Die lineare Abbildung [mm] \phi: P_2(\IR)\to\IR [/mm] seu definiert durch [mm] \phi(f)=f(1). [/mm] Finden Sie [mm] Ker(\phi)^\perp [/mm] bezüglich des folgenden Skalarprodukts:
[mm] s(f,g)=\integral_{-1}^{1}{f(t)g(t) dt} [/mm] |
Hallo, ich bin (vermutlich) schon fast beim Ziel. Ich bisher folgendes gemacht:
1) Die Abbildungsmatrix bezüglich der Basis [mm] \IK=\{1, t, t^2\} [/mm] und des oben genannten Skalarprodukts berechnet:
[mm] M_{\phi}(s)=\pmat{ 2 & 0 & \bruch{2}{3} \\ 0 & \bruch{2}{3} & 0 \\ \bruch{2}{3} & 0 & \bruch{2}{5}}
[/mm]
2) Eine Basis vom [mm] Ker(\phi) [/mm] bestimmt: [mm] \IK_{Ker\phi}=\{(1-t^2), (t-t^2)\}
[/mm]
Ich wollte hiermit arbeiten: [mm] s(v,w)=P_{\IK}(v)^T*M_{\phi}(s)*P_{\IK}(w)
[/mm]
Die [mm] P_{\IK}\in\IR^3 [/mm] sind die Vektoren v,w in Tupel-Schreibweise.
für [mm] v\in Ker(\phi) [/mm] und [mm] w\in Ker(\phi)^\perp [/mm] gilt ja dann:
[mm] s(v,w)=0=P_{\IK}(v)^T*M_{\phi}(s)*P_{\IK}(w) [/mm]
Allerdings funktioniert das nicht so wie ich mir das gedacht habe, da ich trotzdem viel zu viele Variablen habe.
Also wenn ich allgemein einen Vektor aus [mm] Ker(\phi) [/mm] in Tupel- Schreibweise haben möchte, dann sieht der so aus:
[mm] v=\lambda_1(1-t^2)+\lambda_2(t-t^1) \Rightarrow P_{\IK}(v)= \lambda_1\vektor{1 \\ 0 \\ -1} +\lambda_2\vektor{0 \\ 1 \\-1}=\vektor{\lambda_1 \\ \lambda_2 \\ -\lambda_1 -\lambda_2}
[/mm]
wenn ich den so in die Gleichung oben einsetze habe ich:
[mm] 0=(\lambda_1, \lambda_2, -\lambda_1-\lambda_2)\pmat{ 2 & 0 & \bruch{2}{3} \\ 0 & \bruch{2}{3} & 0 \\ \bruch{2}{3} & 0 & \bruch{2}{5}}\vektor{x \\ y \\ z}
[/mm]
diese Vektoren [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] sind die, die ich bestimmen möchte. Also die Orthogonal zu [mm] Ker(\phi) [/mm] sind.
Führt das zum Ziel? Oder gibt es eine geeignetere Methode?
Grüße, kulli
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Ok hat sich erledigt, habe [mm] Ker(\phi)^\perp [/mm] gefunden! Für Interessierte: Man muss die beiden Basisvektoren vom [mm] Ker\phi [/mm] einzeln in die zuletzt genannte Gleichung setzen und zwar als Tupelschreibweise.. ohne Lambdas. Dann bekommt man 2 Gleichungen, die man lösen kann. Raus kommt eben der Vektor, der zu den beiden Basisvektoren orthogonal ist. Der Spann von diesem Vektor ist gerade [mm] Ker\phi^\perp!
[/mm]
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