Orthogonale Prokektion < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:45 Di 12.07.2005 | | Autor: | jennyf |
Schon wieder ein Problem. Kann die folgende Aufgabe nicht lösen:
Es sei V ein endlich-dimensionaler Vektorraum mit Skalarprodukt. Für welche U [mm] \subset [/mm] V ist die orthogonaler Projektion [mm] p_{u}:V \to [/mm] U eine unitäre (orthogonale) Abbildung.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:24 Di 12.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
Ich hoffe mal, dass ich mich nicht arg irre, aber meine Idee wäre folgende:
Nehmen wir an, $f$ sei orthogonal und ferner [mm] $v\in V\setminus [/mm] U$. Dann ist [mm] $0\not= \langle v,v\rangle [/mm] = [mm] \langle f(v),f(v)\rangle [/mm] = [mm] \langle 0,0\rangle [/mm] = 0$ - Widerspruch. Folglich ist [mm] $V\setminus U=\emptyset$, [/mm] d.h. $U=V$. Für $U=V$ ist [mm] $f=id_V$, [/mm] d.h. [mm] $\langle v,w\rangle [/mm] = [mm] \langle f(v),f(w)\rangle$. [/mm]
Die Projektion von $V$ auf $U$ ist also genau dann eine orthogonale Abbildung, wenn $U=V$ gilt.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:09 Di 12.07.2005 | | Autor: | jennyf |
Woher weiß ich denn, dass <f(v),f(v)>=<0,0> ist.
Denn Rest halte ich für logisch.
Danke schon mal für die schnelle Lösung
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:24 Di 12.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Jenny!
Es sei [mm] $B:=\{v_1,...,v_n\}$ [/mm] eine Basis von $V$ und [mm] $B_U:=\{u_1,...,u_s\}$ [/mm] eine Basis von $U$, die wir zu einer Basis [mm] $B':=\{u_1,...,u_s,v_{s+1},...,v_n\}$ [/mm] ergänzen. Dann ist [mm] $f\left( \summe_{i=1}^{s} a_i u_i+\summe_{i=s+1}^{n} b_i v_i\right) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{s} [/mm] ai [mm] u_i$. [/mm] Sei $U'$ das Komplement von $U$ in $V$, dann lässt sich jeder Vektor [mm] $v\in [/mm] U'$ als Linearkombination der [mm] $v_{s+1},...,v_n$ [/mm] darstellen, d.h. [mm] $v=\summe_{i=s+1}^{n} a_i\cdot v_i$ [/mm] für Koeffizienten [mm] $a_i$. [/mm] Dann ist $f(v)=0$, d.h. [mm] $\langle f(v),f(v)\rangle [/mm] = [mm] \langle 0,0\rangle [/mm] = 0$.
Ist es nun klarer?
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 Di 12.07.2005 | | Autor: | jennyf |
Weiß nicht, ob ich einfach nur auf'm Schlauch steh oder ob ich zu blöd bin...
warum kann ich, wenn ich weiß, dass ich v durch eine Linearkombination einer Basis von [mm] V\U [/mm] darstellen kann, daraus schließen, dass f(v)=0 ist
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:11 Di 12.07.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Jenny!
Ist $v$ im Komplement von $U$, dann hat es ja eine Darstellung der Form
$v = [mm] \sum\limits_{i=s+1}^nb_iv_i [/mm] = [mm] \sum\limits_{i=1}^s [/mm] 0 [mm] \cdot u_i [/mm] + [mm] \sum\limits_{i=s+1}^n b_iv_i$,
[/mm]
nach Hannos Notation.
Dann gilt aber (vergleiche in Hannos Beitrag, wie die Projektion definiert ist):
$f(v) = [mm] f\left( \sum\limits_{i=1}^s 0 \cdot u_i + \sum\limits_{i=s+1}^n b_iv_i\right) [/mm] = [mm] \sum\limits_{i=1}^s [/mm] 0 [mm] \cdot u_i [/mm] = 0$.
Viele Grüße
Stefan
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