Orthogonale Projektion < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:07 Fr 28.08.2009 | | Autor: | Domwow |
| Aufgabe | Bezüglich der Standardbasis sei P die Matrix der orthogonalen Projektion des [mm]\IR^3[/mm] auf die Lösungsgesamtheit von
x1 - 2x2 + 3x3 = 0
und es seien w:= [mm](1,-2,3)^T[/mm] sowie v:= [mm](3,2,1)^T[/mm]. Bewerten sie dazu folgende Aussagen:
- [mm]||Pw||_2[/mm] = [mm]||w||_2[/mm].
- ([mm]4P^4[/mm] - [mm]3P^3[/mm])v = v |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Moin!
Zunächst zu Aussage 1:
Da w Normalenvektor ist und quasi senkrecht zum Lösungsraum steht, ist die Projektion von w auf den Lösungsraum 0?! Und deshalb sind die Längen nicht gleich.
Zu Aussage 2:
Da v nicht in dem Lösungsraum liegt, wird die Projektion v nicht auf sich selbst abbilden.
Beide Aussagen sind falsch!Ich bräuchte nur Rückmeldungen, ob meine Denkweise richtig ist!
Vielen Dank im Voraus und liebe Grüße!
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> Bezüglich der Standardbasis sei P die Matrix der
> orthogonalen Projektion des [mm]\IR^3[/mm] auf die
> Lösungsgesamtheit von
> x1 - 2x2 + 3x3 = 0
> und es seien w:= [mm](1,-2,3)^T[/mm] sowie v:= [mm](3,2,1)^T[/mm]. Bewerten
> sie dazu folgende Aussagen:
>
> - [mm]||Pw||_2[/mm] = [mm]||w||_2[/mm].
>
> - ([mm]4P^4[/mm] - [mm]3P^3[/mm])v = v
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Moin!
> Zunächst zu Aussage 1:
> Da w Normalenvektor ist und quasi senkrecht
Hallo,
was meinst Du mit "quasi senkrecht"?
Weil er senkrecht
> zum
> Lösungsraum steht, ist die Projektion von w auf den
> Lösungsraum 0?! Und deshalb sind die Längen nicht
> gleich.
Ja.
>
>
> Zu Aussage 2:
> Da v nicht in dem Lösungsraum liegt, wird die Projektion
> v nicht auf sich selbst abbilden.
Von welchem Lösungsraum redest Du?
Was ist eigentlich [mm] P^2?
[/mm]
Und was ist folglich [mm]4P^4[/mm] - [mm]3P^3[/mm]?
Den Rest kannst Du dann ja nachrechnen, oder Du überlegst Dir was mit Eigenvektoren.
Mach mal und zeig's ggf.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:36 Mo 31.08.2009 | | Autor: | Domwow |
[mm]P^2[/mm] ist die zweimal hintereinander ausgeführte Projektion auf die Lösungsgesamtheit von x1 - 2x2 + 3x3 = 0. Aber wenn etwas, was schon in der Lösungsgesamtheit steckt nochmal auf die selbige projeziert wird, ist die Projektion doch eigentlich 1.
Ist dann [mm](4P^4 - 3P^3)v = v \gdw (1 - 1) v \not= v[/mm]?
Vektoren werden nur auf sich selbst abgebildet, wenn sie orthogonal zur Lösungsgesamtheit stehen, was v also nicht sein kann.
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> [mm]P^2[/mm] ist die zweimal hintereinander ausgeführte Projektion
> auf die Lösungsgesamtheit von x1 - 2x2 + 3x3 = 0. Aber
> wenn etwas, was schon in der Lösungsgesamtheit steckt
> nochmal auf die selbige projeziert wird, ist die Projektion
> doch eigentlich 1.
Hallo,
wir wollen nicht wissen, was "eigentlich" rauskommt, sondern wir wollen wissen, was herauskommt.
hast Du schonmal die Darstellungsmatrix von P bzgl einre (möglichst passenden) Basis aufgestellt?
Das solltest Du tun.
(Es ist übrigens [mm] P^2=P [/mm] bei Projektionen.)
Gruß v. Angela
> Ist dann [mm](4P^4 - 3P^3)v = v \gdw (1 - 1) v \not= v[/mm]?
>
> Vektoren werden nur auf sich selbst abgebildet, wenn sie
> orthogonal zur Lösungsgesamtheit stehen, was v also nicht
> sein kann.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 Mo 31.08.2009 | | Autor: | Domwow |
Muss ich dann erst einen Vektor nehmen, der die Ebenengleichung erfüllt, um danach mit Gram-Schmidt eine Orthonormalbasis zu bilden, welche ich dann als Matrix darstellen kann?!
Also ist jetzt [mm](4P^4 - 3P^3)v = v \gdw (4P - 3P)v = v[/mm], was nicht gelten kann, da v nicht orthogonal zur Lösungsmenge ist?!
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> Muss ich dann erst einen Vektor nehmen, der die
> Ebenengleichung erfüllt, um danach mit Gram-Schmidt eine
> Orthonormalbasis zu bilden, welche ich dann als Matrix
> darstellen kann?!
Hallo,
eine ONB brauchst Du nicht unbedingt - schädlich ist's natürlich nicht.
Nimm als Basis den Normalenvektor der Ebene und irgend zwei unabhängige, die die Ebene aufspannen.
>
>
> Also ist jetzt [mm](4P^4 - 3P^3)v = v \gdw (4P - 3P)v = v[/mm], was
> nicht gelten kann, da v nicht orthogonal zur Lösungsmenge
> ist?!
Nein. Erstmal haben wir Pv=v stehen.
Dh. v wäre ein Eigenvektor zum Eigenwert 1 (oder v=0).
=b das ein EV zum EW 1 ist, kannst Du ja prüfen.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:58 Mo 31.08.2009 | | Autor: | Domwow |
Okay hab jetzt als P:
[mm] \pmat{ 1 & 2&3 \\ -2 & 1&0\\ 3 &0 &-1 }.
[/mm]
Wenn ich dann (P-1E)*x = 0 rechne, ist v definitiv kein Eigenvektor zum Eigenwert 1. Damit hab ich dann die Gültigkeit der Aussage widerlegt?!
Liebn Gruß Dom.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:01 Mo 31.08.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Domwow!
Bitte markiere Rückfragen auch als solche (und nicht nur als Mitteilung).
Gruß
Loddar
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> Okay hab jetzt als P:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2&3 \\ -2 & 1&0\\ 3 &0 &-1 }.[/mm]
Hallo,
woher hast Du P?
Welche Basis verwendest Du?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:15 Mo 31.08.2009 | | Autor: | Domwow |
Habe bezüglich der Standardbasen P gebildet mit dem Normalenvektor [mm] w:=\vektor{1 \\ -2\\3} [/mm] und 2 Vektoren, die die Ebenengleichung erfüllen:
[mm] \vektor{2 \\ 1\\0}, \vektor{3 \\ 0\\-1}.
[/mm]
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> Habe bezüglich der Standardbasen P gebildet mit dem
> Normalenvektor [mm]w:=\vektor{1 \\ -2\\3}[/mm] und 2 Vektoren, die
> die Ebenengleichung erfüllen:
> [mm]v_1:=\vektor{2 \\ 1\\0}, v_2:=\vektor{3 \\ 0\\-1}.[/mm]
Hallo,
die Basis ist in Ordnung, aber das was Du hier als P hingeschreiben hast, ist nicht die Darstellungsmatrix.
Hier ist es am einfachsten, die Darstellungsmatrix bzgl. [mm] B:=\{w,v_1, v_2\} [/mm] aufzustellen.
In die Spalten kommen die Bilder der Vektoren aus B in Koordinaten bzgl. B.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 Mo 31.08.2009 | | Autor: | Domwow |
Also sollte es dann so aussehen w = 1*w + 0*v1 + 0*v2, v1 = 0*w + 1*v1 + 0*v2, v3= 0*w + 0*v1 + 1*v2. Die Bilder werden dann als Spalten geschrieben.
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> Also sollte es dann so aussehen w = 1*w + 0*v1 + 0*v2,
> v1 = 0*w + 1*v1 + 0*v2, v3= 0*w + 0*v1 + 1*v2.
Hallo,
ja, aber in die Spalten der Projektionsmatrix kommen ja die Bilder der Basisvektoren unter der Projektion (in Koordinaten bzgl. [mm] (w,v_1, v_2).
[/mm]
Du mußt also Pw, [mm] Pv_1, Pv_2 [/mm] aufschreiben.
> Die Bilder
> werden dann als Spalten geschrieben.
und kommen als Spalten in die Darstellungsmatrix.
Das gibt dann die Matrix bzgl der Basis [mm] (w,v_1, v_2).
[/mm]
Ihr hattet doch die Darstelllungsmatrizen schon, oder? Wenn Ihr sie nicht hattet, müssen wir uns nicht unbedingt damit quälen, man kann die Aufgabe auch ohne lösen.
Damit es hier mal etwas vorwärts geht: welche Vektoren spannen denn den Eigenraum zum Eigenwert 1 auf?
Liegt v in diesem Eigenraum?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 Di 01.09.2009 | | Autor: | Domwow |
Danke erst einmal für deine Antwort!
Also Darstellungsmatrizen sind mir oft noch ziemlich suspekt, wie du merkst.
Muss ich jetzt [mm] \pmat{ 1 & 2&3 \\ -2 & 1&0\\-3&0&-1 } [/mm] jeweils mit w, v1 und v2 multiplizieren und diese Bilder dann in die Spalten schreiben?
Wenn ja, erhalte ich: [mm] \pmat{ 6 & 4&0 \\ -4 & -3 &-6\\-6 & 6 & 8}.
[/mm]
Lieben Gruß!
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Hallo,
ich hatte doch gesagt:
>> in die Spalten der Projektionsmatrix kommen ja die Bilder der Basisvektoren unter der Projektion (in Koordinaten bzgl. $ [mm] (w,v_1, v_2). [/mm] $
Also mußt Du Dir erstmal überlegen, worauf die drei Vektoren unter der Projektion abgebildet werden.
Das findest Du nicht durch irgendwelche suspekten Rechnungen heraus, sondern indem Du weißt, was eine orthogonale Projektion macht:
alles, was senkrecht zum Raum ist, auf den projiziert wird, geht auf die 0, das, was in dem Raum liegt, auf den projiziert wird, wird auf sich selbst abgebildet.
(Damit kennst Du bereits Eigenwerte, Eigenvektoren, Eigenräume).
Was sind also die Bilder von [mm] w,v_1, v_2?
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:30 Di 01.09.2009 | | Autor: | Domwow |
Okay, also w wird auf die 0 abgebildet, weil er senkrecht zur Projektionsebene steht, v1 und v2 werden auf sich selbst abgebildet. Das Bild von w = 0, das von v1 = v1, das von v2 = v2.
Lieben Gruß.
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> Okay, also w wird auf die 0 abgebildet, weil er senkrecht
> zur Projektionsebene steht, v1 und v2 werden auf sich
> selbst abgebildet. Das Bild von w = 0, das von v1 = v1, das
> von v2 = v2.
Hallo,
und damit ist die Darstellungsmatrix bzgl Deiner Basis [mm] \pmat{0&0&0\\0&1&0\\0&0&1}.
[/mm]
Ich hab# inzwischen ganz vergessen, wofür wir die brauchten... Ich glaube, wir haben das vorwiegend aus Zwecken der Allgemeinbildung gemacht, weil's grad gepaßt hat.
Eigentlich wolltest Du wissen, ob Pv=v ist.
Dies ist der Fall, wenn v im Eigenraum zum Eigenwert 1 liegt, und das müßtest Du feststellen.
Nochmal zusammengefaßt die Lösung der Aufgabe:
> Aufgabe
> Bezüglich der Standardbasis sei P die Matrix der orthogonalen Projektion des $ [mm] \IR^3 [/mm] $ auf die Lösungsgesamtheit von
> x1 - 2x2 + 3x3 = 0
> und es seien w:= $ [mm] (1,-2,3)^T [/mm] $ sowie v:= $ [mm] (3,2,1)^T [/mm] $. Bewerten sie dazu folgende Aussagen:
> - $ [mm] ||Pw||_2 [/mm] $ = $ [mm] ||w||_2 [/mm] $.
> - ($ [mm] 4P^4 [/mm] $ - $ [mm] 3P^3 [/mm] $)v = v
w steht senkrecht auf der Ebene, auf welche projiziert wird, also ist Pw = 0, und somit stimmt die erste Aussage nicht.
[mm] P^2=P [/mm] bei Projektionen.
Somit ist ($ [mm] 4P^4 [/mm] $ - $ [mm] 3P^3 [/mm] $)v = v <==> Pv=v.
Hierfür ist zu klären, ob v ein Eigenvektor zum Eigenwert 1 ist, also in der Ebene [mm] x_1 [/mm] - [mm] 2x_2 [/mm] + [mm] 3x_3 [/mm] = 0 liegt.
Dies ist nicht der Fall, also ist die Aussage falsch.
Diu siehst, daß die Aufgabe sehr kurz ist, wenn man die grundlegenden Eigenschaften der Projektion kennt.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:58 Di 01.09.2009 | | Autor: | Domwow |
Erst einmal ein großes Dankeschön!
So langsam sind mir die Projektionen vertraut.
Wenn ich bei P (-1*E) abziehe, ist v auch kein Eigenvektor, das wird auch ersichtlich.
Lieben Gruß.
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