Orthogonale Projektion < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:07 Fr 09.04.2004 | | Autor: | UmbraSolis |
Hi alle zusammen :)
Beim Rechnen meiner Aufgaben habe ich gemerkt, dass ich anscheinend immernoch nicht richtig verstanden, was eine orthogonale Projektion ist. Meistens kann ich bei 3 Geraden nicht herausfinden, was die orthogonale Projektion welcher Gerade ist.
Würde sich jemand meiner erbarmen und mir (müsste jetzt das 4.mal sein) erklären was die Eigenschaften einer orthogonalen Projektion sidn und wie ich sie erkenne?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:50 Fr 09.04.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo UmbraSolis!
> Beim Rechnen meiner Aufgaben habe ich gemerkt, dass ich
> anscheinend immernoch nicht richtig verstanden, was eine
> orthogonale Projektion ist.
Eine othogonale Projektion p ist eine Abbildung eines "Objektes" A (z.B. Gerade, Ebene, Vektor etc.) auf ein anderes Objekt B, so dass alle Verbindungslinien von Punkten aus A mit ihren Bildpunkten A' in B senkrecht zu B verlaufen.
Es gilt also für alle Strecken [mm] \overline{AA'} [/mm] (mit $A'=p(A)$): [mm] $\overline{AA'}\perp [/mm] B$
Die Strecken [mm] \overline{AA'} [/mm] heißen auch Projektionsstrahlen, so dass man auch sagen kann: Alle Projektionsstrahlen verlaufen senkrecht zum Bildobjekt B.
> Meistens kann ich bei 3 Geraden
> nicht herausfinden, was die orthogonale Projektion welcher
> Gerade ist.
Was für eine Projektion haben wir denn hier? Gerade auf Ebene, oder Gerade auf Gerade?
Wahrscheinlich das zweite. Ich kann jetzt nur raten, was die Aufgabenstellung sein könnte, vielleicht lieferst du sie noch nach, da ich mir viele unterschiedliche vorstellen kann.
Bis gleich,
Marc
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Leider habe ich dafür keine Aufgabenstellung parrat. Mir ist nur generell im Unterricht aufgefallen, dass ich das nie auf anhieb wusste. Es gibg im Nirmalfall übrigends um Gerade und Ebene... ich dachte eigentlich, dass die orthogonale Projektion auf der Ebene lieben würde, aber es stellte sich im Normalfall raus, dass die o.P. senkrecht zur Ebene stand (Origo und 2 Punkte auf der Ebene bildeten ein Dreieck,der Vektor eines der Punkte war senkrecht auf der Ebene).
Naja, da ich die Aufgabe nicht habe bringt das nicht viel das Thema weiter auszuweiten.
Aber theoretisch könnte doch die orthogonale Projektion jede der 2 anderen Vektoren/Geraden sein wenn man von einem Dreieck spricht, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:49 Fr 09.04.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo UmbraSolis!
> Leider habe ich dafür keine Aufgabenstellung parrat. Mir
> ist nur generell im Unterricht aufgefallen, dass ich das
> nie auf anhieb wusste. Es gibg im Nirmalfall übrigends um
> Gerade und Ebene... ich dachte eigentlich, dass die
> orthogonale Projektion auf der Ebene lieben würde, aber es
> stellte sich im Normalfall raus, dass die o.P. senkrecht
> zur Ebene stand (Origo und 2 Punkte auf der Ebene bildeten
> ein Dreieck,der Vektor eines der Punkte war senkrecht auf
> der Ebene).
Das kann ich mir nicht vorstellen. Wenn es sich um eine Projektion auf eine Ebene handelt, dann liegt die orthogonale Projektion (von irgendeinem Objekt: Punkt, Gerade, Vektor, Strecke) immer in dieser Ebene. Die (imaginären) Projektionsstrahlen, die verlaufen senkrecht zur Ebene.
Der einzige Fall, wo dein Satz oben Sinn machen würde, ist, wenn die Ebene, von der du da sprichst, nicht die Projektionsebene ist (sondern eine andere).
> Naja, da ich die Aufgabe nicht habe bringt das nicht viel
> das Thema weiter auszuweiten.
> Aber theoretisch könnte doch die orthogonale Projektion
> jede der 2 anderen Vektoren/Geraden sein wenn man von einem
> Dreieck spricht, oder?
Was kann "die orthogonale Projektion jede der 2 anderen Vektoren/Geraden" sein? Du meinst, der dritte Vektor kann die orthogonale Projektion der beiden anderen sein? Ja, theoretisch schon, aber nur einer der drei Vektoren kann die orthogonale Projektion eines anderen sein, und auch nur im Falle eines rechtwinkligen Dreiecks; dann ist nämlich:
Die Kathete 1 die orthogonale Projektion der Hypotenuse (und die Kathete 2 ist die Projektionsrichtung).
Die Kathete 2 die orthogonale Projektion der Hypotenuse (und die Kathete 1 ist die Projektionsrichtung).
(Ich spreche hier von eine Projektion von "Vektor auf Vektor"; falls du "Vektor auf Ebene" meinst oder was ganz anderes, ist mir nicht klar, wie du das meinst).
Aber ich denke, ohne konkretes Beispiel ist die Sache viel zu abstrakt und wir laufen Gefahr, aneinander vorbei zu reden. Wenn ihr das in der Schule gemacht habt werden sich doch sicher noch Aufgabenstellungen dazu finden lassen, oder?
Alles Gute,
Marc
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Hallo Ihr zwei,
also meiner Meinung ist eine orthogonale (=senkrechte) Projektion einer Gerade zur Ebene folgendes ist.
Sagen wir:
S ist der Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene,
dann wissen wir schon mal, dass die Gerade die Ebene einmal durch"sticht". Nun nehmen wir den Aufpunkt der Geraden den [mm]\vec a[/mm]!
Nun müssen wir eine senkrechte Produktion des Aufpunktes der Geraden auf die Ebene überlegen.
Senkrecht zur Ebene ist ja auch dessen Normalenvektor, den wir als Richtungsvektor der Lotgerade nehmen:
Das sieht dann so aus:
g: [mm]\vec x[/mm]= [mm]\vec a[/mm] + [mm]\lambda[/mm] * [mm]\vec n[/mm]
Dann muss man diese Gerade in die jeweilige Ebene einsetzen und dann daraus erhalten wir ein Lambda, dass wir wiederrum in die Gleichung der Geraden einsetzen und damit erhalten wir den sogenannten Lotfußpunkt.
Nun haben wir sozusagen zwei Punkte auf der Ebene, von denen wir nun einen als Aufpunkt der Projektionsgeraden nehmen und als Richtungsvektor die Subtraktion der beiden Vektoren.
gproj:[mm]\vec x[/mm]= [mm]\vec s[/mm] + [mm]\lambda[/mm]*([mm]\vec l - \vec s[/mm])
Ich hoffe, das ist so richtig. Könnte vielleicht jemand korrektur lesen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:06 So 11.04.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo DerMathematiker!
> also meiner Meinung ist eine orthogonale (=senkrechte)
> Projektion einer Gerade zur Ebene folgendes ist.
Dann sind wir einer Meinung!
Deine Vorstellungen einer Projektion sind nur konkreter (sie geben ja den konstruktiven Weg an) und spezieller (nur der Fall Gerade projiziert auf Ebene) als meine.
Bei dir liegt ja auch jede Verbindungslinie Punkt-Bildpunkt (=Projektionsstrahl) orthogonal zur Ebene, womit ich eine Projektion gekennzeichnet hatte.
Wenn ich die Projektion einer Gerade auf eine Ebene berechnen muß, gehe ich auch deinen Weg, ich denke, er ist der geschickteste und schnellste; danke also für die Wegbeschreibung (könnten wir eigentlich in unsere Datenbank packen...)
Alles Gute,
Marc.
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Alles klar, gut, dass ich da mal was richtig hatte.
Werde bald in euer Stochastik-Forum schreiben, denn ab morgen werde ich damit anfangen.
Da dies mein Hauptproblem ist werden sicherlich eine Häufung von Fragen in eurem Forum erscheinen.
MfG DerMathematiker
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