Orthogonale Matrix ermitteln < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:28 Mo 20.05.2013 | | Autor: | kalifat |
| Aufgabe | | [mm] A=\pmat{ 10 & 6 \\ 6 & 10 } [/mm] |
Ich habe einen Aussetzer. Ich möchte A schreiben als [mm] A=UDU^{-1}
[/mm]
wobei U eine orthgonale Matrix ist und D eine Diagonalmatrix. Ich bestimme zuerst die Eigenwerte (16 und 4) und erhalte [mm] D=\pmat{ 16 & 0 \\ 0 & 4 }
[/mm]
Jetzt habe ich aber ein Problem beim Lösen des GLS für die Eigenvektoren, wie genau komme ich auf [mm] U=\bruch{1}{\wurzel{2}}\pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 1 }?
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:34 Mo 20.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> [mm]A=\pmat{ 10 & 6 \\ 6 & 10 }[/mm]
> Ich habe einen Aussetzer. Ich
> möchte A schreiben als [mm]A=UDU^{-1}[/mm]
>
> wobei U eine orthgonale Matrix ist und D eine
> Diagonalmatrix. Ich bestimme zuerst die Eigenwerte (16 und
> 4) und erhalte [mm]D=\pmat{ 16 & 0 \\ 0 & 4 }[/mm]
>
> Jetzt habe ich aber ein Problem beim Lösen des GLS für
> die Eigenvektoren, wie genau komme ich auf
> [mm]U=\bruch{1}{\wurzel{2}}\pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 1 }?[/mm]
Nehmen wir uns den Eigenwert 4 vor. Sei [mm] (x,y)^T [/mm] ein zugeh. Eigenvektor.
Das führt auf das "LGS " 6x+6y=0.
Das ist nichts anderes als x=-y. Somit ist jeder EV von der Form
$t* [mm] \vektor{1 \\ -1}$ [/mm] mit t [mm] \in \IR [/mm] und t [mm] \ne [/mm] 0.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:38 Mo 20.05.2013 | | Autor: | kalifat |
Und wieso wird hier bewusst 1/sqrt(2) verwendet?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:42 Mo 20.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Und wieso wird hier bewusst 1/sqrt(2) verwendet?
U soll doch eine orthgonale Matrix werden !!!!
FRED
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