Orthogonale Matrix < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:25 Do 09.08.2012 | | Autor: | Morgyr |
Hi.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe folgende Matrix und soll prüfen, ob sie orthogonal ist.
[mm] \pmat{ 1 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & -2 \\ 2 & 2 & -3 }
[/mm]
Nun habe ich im Skript die Bedingung gefunden:
Wenn ich einen Vektor mit der Matrix multipliziere und sich die Länge des Vektors dabei nicht verändert, dann ist die Matrix orthogonal.
Gesagt getan: Multipliziere ich den Vektor [mm] \vektor{1 \\ 3 \\ 2} [/mm] mit der Matrix, erhalte ich den Vektor [mm] \vektor{3 \\ 1 \\ 2}.
[/mm]
Somit sind die Längen identisch und die Matrix sollte orthogonal sein.
Zu der Aufgabe gibt es jedoch eine Lösung, die besagt, dass die Länge der Spaltenvektoren nicht 1 ist und diese zudem nicht orthogonal sind, wodurch die Matrix nicht orthogonal ist.
Selbstverständlich sind die Längen der Spaltenvektoren nicht 1 und orthogonal sind sie auch nicht zueinander, aber warum ist meine Bedingung oben dann erfüllt?
Auch Wikipedia (wenns auch keine sichere Quelle ist) sagt dazu:
"Diese heißt orthogonal, wenn eine der folgenden äquivalenten Eigenschaften erfüllt ist:"..."Durch eine Multiplikation mit Q ändert sich die euklidische Länge eines Vektors x nicht (Längentreue):"
(http://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonale_Matrix)
Was ist nun richtig?
Danke im voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:36 Do 09.08.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Mit "einem Vektor" ist nicht gemeint, dass das nur für einen einzigen Vektor gelten muss. Sonst könnte man ja auch immer den Nullvektor nehmen. Es ist so gemeint, dass für jeden beliebigen Vektor die Norm gleich bleibt. Und wenn du einen Einheitsvektor nehmen würdest, würde das schon nicht mehr stimmen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 Do 09.08.2012 | | Autor: | Morgyr |
Oh Gott :D
Wenn man mehrere Vektoren probiert, sollte man wenigstens mit den simplesten anfangen.
Danke schön schonmal soweit.
Aber nochmal zu der vorgegebenen Lösung.
Wie ist denn die Bedingung genau definiert? Weder im Skript noch im Internet genau diese Argumentation gefunden.
Würde es ausreichen, einfach alle Spaltenvektoren paarweise auf Orthogonalität zu prüfen?
Die 4 Bedingungen, die ich kenne, sehen irgendwie nicht so aus, als wäre es so einfach.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:21 Do 09.08.2012 | | Autor: | Teufel |
Also für mich ist die "normale" Definition von Orthogonalität die Folgende:
Eine Matrix $A$ heißt orthogonal, falls [mm] AA^T=E.
[/mm]
Das ist äquivalent dazu, dass die Spalten von $A$ eine Orthonomalbasis bilden, d.h. alle Betrag 1 haben und paarweise orthogonal sind.
Damit kann man glaube ich am einfachsten prüfen, ob eine Matrix orthogonal ist. Manchmal sieht man direkt, ob die Spalten eine ONB bilden oder nicht, aber ansonsten kannst du einfach auch immer [mm] AA^T [/mm] ausrechnen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:24 Do 09.08.2012 | | Autor: | Morgyr |
Alles klar, dann schau ich mir das nochmal ordentlich an.
Danke schön :)
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