Orthogonale Abbildung < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:50 Sa 20.06.2009 | | Autor: | equity |
| Aufgabe | Wir betrachten den euklidischen Vektorraum [mm] \IR^2 [/mm] mit dem Standardskalarprodukt
[mm] <\vec x,\vec y>:=x_1y_1+x_2y_2
[/mm]
und die Matrixabbildung [mm] A:\IR^2 \to \IR^2
[/mm]
[mm] \begin{bmatrix}
x_1 \\ y_1
\end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix}
a_{11}x_1+a_{12}x_2 \\ a_{21} x_1+a_{22}x_2 \end{bmatrix}
[/mm]
Sei [mm]\vec b = \begin{bmatrix}
5 \\ -4
\end{bmatrix}[/mm]
Berechnen Sie die Koeffizienten [mm] a_{11},a_{12},a_{21},a_{22} \in \IR, [/mm] sodass
1. der erste Spaltenvektor der Matrix A die Länge 1 hat und in dieselbe Richtung zeigt wie [mm]\vec b[/mm] und
2. die Matrix-Abbildung A ortogonal ist. |
Hallo...
Brauche mal wieder Hilfe, bevor ich heute gar nicht mehr schlafen gehe :)
Ich weiss schon wieder gar nicht wie ich hier anfangen soll. Ich kann mir vorstellen, dass die Aufgabe irgendetwas mit der QR-Zerlegung zu tun haben muss, aber ich weiss einfach nicht, wass ich machen muss. Kann mir bitte, bitte jemand helfen...
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Hallo,
also vllt mache ich mir die Aufgabe ein wenig zu einfach, aber wenn der erste Spaltenvektor in der gleichen Richtung wie $b$ sein soll, dann kommen ja nur Vektoren von einer bestimmten Gerade in Frage, (lineare Hülle von b). Wenn der noch normiert sein soll, kommen nur noch 2 vektoren in Frage, und da auch die Richtung übereinstimmen soll, ist doch eig klar, wie die erste Spalte aussieht. Damit nun die Matrix orthogonal ist, müssen ja alle Spaltenvektoren orthoNORMIERT sein. Das sollte dann auch relativ übersichtlich sein, wir befinden uns ja im [mm] \IR^2.
[/mm]
lg Kai
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:21 So 21.06.2009 | | Autor: | equity |
Guten Morgen!
Ich verstehe das trotzdem nicht. Ich trau mich schon gar nicht zu fragen, aber kannst du mir vielleicht zeigen, wie das geht?
Lg
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Na wie sieht denn die lineare Hülle vom Vektor b aus?
Vllt heißt das bei euch span(b) ober lin(b).
[mm]Lin(b)=\{v \in \IR^2: v = t*b, \; t \in \IR \}[/mm]
so... und für welches t findest du nun den passenden Vektor?
vllt noch ein Tipp: Negative t fallen raus, wegen der Forderung mit dem gleichgerichtet.
lg Kai
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:31 So 21.06.2009 | | Autor: | equity |
Hallo nochmal :o)
Ist dieses Erbebnis richtig?
A= [mm] \begin{bmatrix}5/\wurzel{41} & 4/\wurzel{41}\\-4/\wurzel{41} & 5/\wurzel{41}\end{bmatrix} [/mm]
Lg
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> Hallo nochmal :o)
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> Ist dieses Erbebnis richtig?
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> A= [mm]\begin{bmatrix}5/\wurzel{41} & 4/\wurzel{41}\\-4/\wurzel{41} & 5/\wurzel{41}\end{bmatrix}[/mm]
>
Sieht gut aus! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Lg
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