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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Orthog. Komlement, Kern, Bild
Orthog. Komlement, Kern, Bild < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Orthog. Komlement, Kern, Bild: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:06 Mo 23.05.2005
Autor: Hokes

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


(A sei reelle m,n-Matrix.)
Wie beweist man, dass
(Bild [mm] A)^{\perp} [/mm] = Kern [mm] A^T [/mm]  ?
Genauso:
Bild [mm] A^T [/mm] = (Kern [mm] A)^{\perp} [/mm]  ?


        
Bezug
Orthog. Komlement, Kern, Bild: Idee
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:04 Mo 23.05.2005
Autor: NECO

Kern [mm] A^{T}= [/mm] y  [mm] \gdw A^{T} \*y=0 [/mm]

und (Bild [mm] A)^{\perp} [/mm]

ich glauebe hier kommt die Orthogonale Projektion zu Hilfe.
Sei p(x) orthogonale Projektion von x auf Bild A
dann ist ja (p(x)-x) orthogonal zu Bild A.

Jetz kannst du dir überlegen wie du dass alles zusammen fassen kannst.
Bezug
        
Bezug
Orthog. Komlement, Kern, Bild: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:46 Di 24.05.2005
Autor: Julius

Hallo Hokes!

Wenn man es direkt mit Hilfe der Definitionen zeigen will, sollte man es wie folgt machen:

$y [mm] \in [/mm] (Bild [mm] A)^{\perp}$ [/mm]

[mm] $\Leftrightarrow \quad \langle [/mm] y,Ax [mm] \rangle=0$ [/mm]    für alle $x [mm] \in \IR^n$ [/mm]

[mm] $\Leftrightarrow \quad \langle [/mm] A^Ty,x [mm] \rangle [/mm] =0$    für alle $x [mm] \in \IR^n$ [/mm]

[mm] $\Leftrightarrow \quad [/mm] A^Ty=0$

[mm] $\Leftrightarrow \quad [/mm] y [mm] \in Kern(A^T)$. [/mm]

>  Genauso:
>  Bild [mm]A^T[/mm] = (Kern [mm]A)^{\perp}[/mm]  ?

Genau: genauso! ;-) Versuchst du es bitte mal selbst und postest deinen Lösungsvorschlag zur Kontrolle? :-)

Viele Grüße
Julius

Bezug
        
Bezug
Orthog. Komlement, Kern, Bild: Idee
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:27 Di 24.05.2005
Autor: Hokes

Hallo Julius.
Vielen Dank für deinen Hinweis!

Ich denke es geht wirklich"genau so"!
Denn:
Bild [mm] A^T [/mm] = (Kern [mm] A)^{\perp} [/mm]
      [mm] \gdw [/mm]  
(Bild [mm] A^T)^{\perp} [/mm] = Kern A

Der Rest ist nahezu gleich wie deine Lösung:
Sei y [mm] \in [/mm] (Bild [mm] A^T)^{\perp} [/mm] ...
Bezug
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