Ordnungsstruktur in Körpern < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei (K,+,*) ein angeordneter Körper. Zeigen Sie, dass für r,s [mm] \in [/mm] K mit 0 [mm] \le [/mm] r < s gilt:
[mm] \bruch{r}{1+r}<\bruch{s}{1+s} [/mm] |
Ich bräuchte mal einen Ansatz für diese Aufgabe. Aus der Aufgabenstellung habe ich mir schon überlegt, dass auch folgende Ungleichungen gelten müssen (dazugehörige Rechenregeln haben wir in der Vorlesung bereits bewiesen):
1.) 0 < 1+r < 1+s
2.) 0 < [mm] \bruch{1}{1+s} [/mm] < [mm] \bruch{1}{1+r}
[/mm]
3.) 0 < [mm] \bruch{1+r}{1+s} [/mm] < [mm] \bruch{1+s}{1+r} [/mm] (folgt aus 1. und 2.)
4.) 0 < [mm] \bruch{r}{1+s} [/mm] < [mm] \bruch{s}{1+r} [/mm] (folgt aus Aufgabenstellung und 2.)
4. sieht ja nun schon fast aus wie das Geforderte, aber eben nur fast. Ich komm einfach nicht darauf, wie ich Umstellen muss, damit ich auf ein Ergebnis komme. Man muss sicherlich beide Terme erweitern dann was umstellen und schließlich etwas ausklammern. Ich habe schon etliches ausporbiert, bin aber bisher nicht ans Ziel gekommen.
Kann mir bitte jemand einen Tipp für einen Ansatz geben. Dafür wäre ich sehr dankbar.
LG Lernender
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:59 So 10.11.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei (K,+,*) ein angeordneter Körper. Zeigen Sie, dass für
> r,s [mm]\in[/mm] K mit 0 [mm]\le[/mm] r < s gilt:
>
> [mm]\bruch{r}{1+r}<\bruch{s}{1+s}[/mm]
> Ich bräuchte mal einen Ansatz für diese Aufgabe. Aus der
> Aufgabenstellung habe ich mir schon überlegt, dass auch
> folgende Ungleichungen gelten müssen (dazugehörige
> Rechenregeln haben wir in der Vorlesung bereits bewiesen):
>
> 1.) 0 < 1+r < 1+s
>
> 2.) 0 < [mm]\bruch{1}{1+s}[/mm] < [mm]\bruch{1}{1+r}[/mm]
>
> 3.) 0 < [mm]\bruch{1+r}{1+s}[/mm] < [mm]\bruch{1+s}{1+r}[/mm] (folgt aus 1.
> und 2.)
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> 4.) 0 < [mm]\bruch{r}{1+s}[/mm] < [mm]\bruch{s}{1+r}[/mm] (folgt aus
> Aufgabenstellung und 2.)
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> 4. sieht ja nun schon fast aus wie das Geforderte, aber
> eben nur fast. Ich komm einfach nicht darauf, wie ich
> Umstellen muss, damit ich auf ein Ergebnis komme. Man muss
> sicherlich beide Terme erweitern dann was umstellen und
> schließlich etwas ausklammern. Ich habe schon etliches
> ausporbiert, bin aber bisher nicht ans Ziel gekommen.
> Kann mir bitte jemand einen Tipp für einen Ansatz geben.
Multiplizier doch mal die Gleichung, die du zeigen willst, mit dem Hauptnenner. (Dieser ist positiv - warum?) Was steht dann da?
LG Felix
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