Ordnungsrelation < Relationen < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | M, N nicht-leere Mengen. $f: M [mm] \rightarrow [/mm] N $ Abb.
Sei [mm] $\le$ [/mm] eine Ordnungsrelation auf N. Definiere die Relation ~ auf M: [mm] $m_{1}$ [/mm] ~ [mm] $m_{2}$ [/mm] genau dann wenn [mm] f(m_{1})\le f(m_{1})
[/mm]
- Ist ~ eine Ordnungsrelation?
- Für welche Abbildungen ist ~ eine Ordnungsrelation auf M? |
Hallo zusammen,
ich habe oben ~ statt dem geschwungenen kleiner-gleich Zeichen verwendet (das habe ich leider nicht gefunden).
Den ersten Punkt habe ich gezeigt. MMn ist ~ eine Ordnungsrelation da reflexiv, antisymmetrisch und transitiv (ich hoffe, ich liege hier richtig).
Allerdings verstehe ich den zweiten Teil der Aufgabe nicht wirklich.
Gibt es überhaupt eine Abbildung, für die ~ keine Ordnungsrelation auf M wäre?
Wäre nett, wenn ihr mir da einen Hinweis geben könntet!
Grüße
honklsponk
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:17 Mo 14.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
Hallo honklsponk,
> Den ersten Punkt habe ich gezeigt. MMn ist ~ eine
> Ordnungsrelation da reflexiv, antisymmetrisch und transitiv
> (ich hoffe, ich liege hier richtig).
Poste doch mal deinen Versuch, die Antisymmetrie von ~ zu beweisen. Er kann nämlich nicht stimmen, bzw. nur, wenn man eine gewisse Anforderung an f stellt...
> Allerdings verstehe ich den zweiten Teil der Aufgabe nicht wirklich.
>
> Gibt es überhaupt eine Abbildung, für die ~ keine Ordnungsrelation auf M wäre?
Ja.
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
Antisymmetrie habe ich folgendermaßen gezeigt (versucht zu zeigen):
Zu zeigen: [mm] $m_{1}$ [/mm] ~ [mm] $m_{2}$ $\wedge$ $m_{2}$ [/mm] ~ [mm] $m_{1}$ $\Rightarrow m_{1}=m_{2}$
[/mm]
[mm] $f(m_{1})\le f(m_{2})$ [/mm] und [mm] $f(m_{2})\le f(m_{1})$ [/mm] ist nur der Fall wenn [mm] $m_{1}=m_{2}$.
[/mm]
So wollte ich die Antisymmetrie zeigen.
|
|
|
| |
|
> Antisymmetrie habe ich folgendermaßen gezeigt (versucht zu
> zeigen):
>
> Zu zeigen: [mm]m_{1}[/mm] ~ [mm]m_{2}[/mm] [mm]\wedge[/mm] [mm]m_{2}[/mm] ~ [mm]m_{1}[/mm] [mm]\Rightarrow m_{1}=m_{2}[/mm]
>
> [mm]f(m_{1})\le f(m_{2})[/mm] und [mm]f(m_{2})\le f(m_{1})[/mm] ist nur der
> Fall wenn [mm]m_{1}=m_{2}[/mm].
Hallo,
wie kommst Du auf diesen Schluß?
Bei mir folgt aus [mm] $f(m_{1})\le f(m_{2})$ [/mm] und [mm] $f(m_{2})\le f(m_{1})$ [/mm] einfach bloß, daß [mm] f(m_1)=f(m_2).
[/mm]
Über [mm] m_1 [/mm] und [mm] m_2 [/mm] weiß ich nichts.
Beispiel f(x):= [mm] x^2+5.
[/mm]
Es ist [mm] -2\sim [/mm] 2 und [mm] 2\sim [/mm] -2, denn es ist f(-2)=f(2)=9.
Aber der Schluß, daß nun -2=2 gilt, ist gewagt...
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hallo Angela,
> Bei mir folgt aus [mm]f(m_{1})\le f(m_{2})[/mm] und [mm]f(m_{2})\le f(m_{1})[/mm]
> einfach bloß, daß [mm]f(m_1)=f(m_2).[/mm]
> Über [mm]m_1[/mm] und [mm]m_2[/mm] weiß ich nichts.
Ok. Das leuchtet mir ein. Da war ich "zu schnell". Wenn [mm]f(m_1)=f(m_2)[/mm] stehen [mm] $m_1$ [/mm] und [mm] $m_2$ [/mm] zwar in Relation zueinander, aber es muss nicht folgen, dass [mm] $m_1 [/mm] = [mm] m_2$.
[/mm]
Dann ist die Antwort auf die zweite Frage dass ~ eine Ordnungsrelation auf M ist, wenn f injektiv oder bijektiv ist.
Wenn f injektiv oder bijektiv ist, dann wird jedem $m [mm] \in [/mm] M$ ein eindeutiger Wert f(m) zugeordnet. Und dann würde die Antisymmetrie auch gelten, denn aus $ [mm] f(m_{1})\le f(m_{2}) [/mm] $ und $ [mm] f(m_{2})\le f(m_{1}) [/mm] $ folgt $ [mm] f(m_{1})=f(m_{2})$. [/mm] Und wg. der Injektivität f's gilt [mm] $f(m_{1})=f(m_{2}) \Rightarrow m_{1}=m_{2}$.
[/mm]
Richtig?
|
|
|
| |
|
> Dann ist die Antwort auf die zweite Frage dass ~ eine
> Ordnungsrelation auf M ist, wenn f injektiv oder bijektiv
> ist.
Hallo,
die Injektivität ist entscheidend.
>
> Wenn f injektiv oder bijektiv ist, dann wird jedem [mm]m \in M[/mm]
> ein eindeutiger Wert f(m) zugeordnet. Und dann würde die
> Antisymmetrie auch gelten, denn aus [mm]f(m_{1})\le f(m_{2})[/mm]
> und [mm]f(m_{2})\le f(m_{1})[/mm] folgt [mm]f(m_{1})=f(m_{2})[/mm]. Und wg.
> der Injektivität f's gilt [mm]f(m_{1})=f(m_{2}) \Rightarrow m_{1}=m_{2}[/mm].
>
> Richtig?
Ja.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:44 Mo 14.11.2011 | | Autor: | honklsponk |
Herzlichen Dank Angela und tobit09,
ihr habt mir sehr geholfen!!!
Liebe Grüße!
|
|
|
|
