Ordnungsrelation < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:54 So 06.02.2005 | | Autor: | mille |
Hallo zusammen,
habe folgenden Aufgabe zu lösen und bin mir nicht sicher ob meine Lösung korrekt ist:
In [mm] \IN [/mm] wird eine Relation S definiert durch:
xSy [mm] \gdw [/mm] x=y oder [mm] y\ge x^{2}
[/mm]
Fragen:
Ist S eine Ordnungsrelation ?
Wenn ja, ist S linear ?
Meine Antwort wäre:
zu Frage 1
Ja S ist eine Ordnungrelation aufgrund des [mm] y\ge x^{2}.
[/mm]
Das [mm] "\ge" [/mm] hat die Eigenschaften reflexiv, antisymmetrisch und transitiv. Daher ist S eine Ordnungsrelation.
zu Frage 2
Ja S ist linear auch aufgrund des [mm] "\ge".
[/mm]
Linear bedeutet ja in diesem Fall [mm] x\ge [/mm] Y oder [mm] y\ge [/mm] x
Diese Bedingung ist bei natürlichen Zahlen erüllt.
So leider bin ich mir mit meiner Lösung nicht all zu sicher da ich noch nicht
so in der Tiefe bin mit dem Thema Relationen. Ich hoffe mir kann jemand sagen ob meine Lösung richtig oder falsch ist bzw. ob etwas abzuändern oder zu ergänzen wäre.
Vielen Dank schon einmal
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:58 So 06.02.2005 | | Autor: | pjoas |
mit der Lösung zu (2) bin ich nicht einverstanden; ich habe zwar die Definitionen nicht mehr ganz präsent, aber linear bedeutet doch sonst etwas der Art
$xSy [mm] \gdw [/mm] (x+z)S(y+z) bzw. [mm] (\alpha*{x})S(\alpha*{y})$, [/mm] falls [mm] $\alpha>0)$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:21 So 06.02.2005 | | Autor: | mille |
Also deine Def. sagt mir ehrlich gesagt nichts. Unser Prof. hat uns folgende Def. für linear gegeben:
Gilt für x,y [mm] \in [/mm] M gilt x [mm] \le [/mm] y oder y [mm] \le [/mm] y so heißt die Ordnung linear.
(das [mm] \le [/mm] steht hier für das Zeichen der Ordnungsrelation, nicht für kleiner gleich)
Wenn ich diese Def. auf mein Beispiel beziehe dann müßte es sich ja um lineare Ordnungsrelation handeln, oder ?
Ach ja ist meine Lösung zu 1 eigentlich richtig ???
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Hallo mille!
In Deinen Ausführungen hat sich ein gravierender Fehler eingeschlichen. Zwar ist durch [mm] \le, [/mm] genauer durch x [mm] \le [/mm] y eine lineare Ordnungsrelation definiert. Das muß dann aber noch lange nicht für y [mm] \ge x^{2} [/mm] gelten!
Schauen wir uns das genau an:
Es gilt: xSy :<=> x=y oder [mm] y^{2}\ge [/mm] x. Diese Bedingung muß nachgeprüft werden, nicht x [mm] \ge [/mm] y!
Reflexivität: xSx ist erfüllt wegen x=x.
Antisymmetrie: Gelte xSy und ySx. Zeige x=y.
Annahme x [mm] \not= [/mm] y. Dann gilt y [mm] \ge x^{2} [/mm] und x [mm] \ge y^{2}.
[/mm]
In [mm] \IN [/mm] gilt daher auch [mm] x^{2} \ge y^{4}.
[/mm]
Jetzt nutzt man die Transitivität von [mm] \ge [/mm] und erhält: y [mm] \ge x^{2} \ge y^{4} [/mm] =>
y=0 oder y=1 =>
[mm] y^{4}=0 [/mm] oder [mm] y^{4}=1 [/mm] =>
x=y Widerspruch!
Transitivität: Gelte xSy und ySz. Zeige: xSz.
Gelte ferner: x [mm] \not= [/mm] y [mm] \not= [/mm] z. (Wären zwei dieser Zahlen gleich, so ist die Sache uninteressant.)
Man hat dann y [mm] \ge x^{2} [/mm] und z [mm] \ge y^{2}.
[/mm]
Man erhält wieder [mm] y^{2} \ge x^{4}.
[/mm]
Setzt man die entsprchenden Ungleichungen zusammen, erhält man mit [mm] x^{4} \ge x^{2}:
[/mm]
z [mm] \ge [/mm] y{2} [mm] \ge x^{4} \ge x^{2}.
[/mm]
Damit ist durch xSy eine Äquivalenzrelation auf [mm] \IN [/mm] erklärt.
Ist diese linear? Nein, denn:
Setze x=2 und y=3. Dann gilt:
x [mm] \not= [/mm] y und [mm] y=3<4=2^{2}=x^{2} [/mm] und [mm] x=2<9=3^{2}=y^{2}.
[/mm]
Also gilt weder xSy noch ySx.
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