Ordnungs-Äquivalenz-Relation < Relationen < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:52 Mo 07.11.2011 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | Sei n [mm] \in [/mm] IN und für a,b [mm] \in [/mm] Z das Symbol | definiert durch a|b:<=> [mm] \exists [/mm] z [mm] \in [/mm] Z: a * z = b. Weiter definiert man eine Relation [mm] R_{n} [/mm] auf Z durch
[mm] R_{n} [/mm] = {(x,y) [mm] \in [/mm] Z x Z: n|(x-y)}.
a) Für welche n ist [mm] R_{n} [/mm] eine Ordnungsrelation auf Z?
b) Für welche n ist [mm] R_{n} [/mm] eine Äquivalenzrelation auf Z? |
zua) Man muss also ein n finden, dass folgende Eigenschaften erfüllt:
1. Reflexivität
2. Antisymmetrie
3. Transitivität
zub) wie a) nur Symmetrie statt A-sym
Die Bedingungen und deren Bedeutung sind mir klar, es fehlt mir aber ein Ansatz.
Laut Notation (Aufgstellung) müsste doch n * z = x-y sein, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:23 Di 08.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei n [mm]\in[/mm] IN und für a,b [mm]\in[/mm] Z das Symbol | definiert
> durch a|b:<=> [mm]\exists[/mm] z [mm]\in[/mm] Z: a * z = b. Weiter definiert
> man eine Relation [mm]R_{n}[/mm] auf Z durch
> [mm]R_{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= {(x,y) [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Z x Z: n|(x-y)}.
>
> a) Für welche n ist [mm]R_{n}[/mm] eine Ordnungsrelation auf Z?
> b) Für welche n ist [mm]R_{n}[/mm] eine Äquivalenzrelation auf
> Z?
> zua) Man muss also ein n finden, dass folgende
> Eigenschaften erfüllt:
> 1. Reflexivität
> 2. Antisymmetrie
> 3. Transitivität
>
> zub) wie a) nur Symmetrie statt A-sym
>
> Die Bedingungen und deren Bedeutung sind mir klar, es fehlt
> mir aber ein Ansatz.
Der ist doch naheliegend ! Machen wirs mal für die Äquivalenzrelation:
1. Gilt n|(x-x) für jedes x [mm] \in \IZ [/mm] ?
2. Folgt aus n|(x-y) auch stets n|(y-x) ?
3. Folgt aus n|(x-y) und n|(y-w) auch n|(x-w) ?
FRED
> Laut Notation (Aufgstellung) müsste doch n * z = x-y
> sein, oder?
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ich vermute , dass es für alle n > 0 eine Äquivordnung ist, aber wie beweist man das?
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n>0, denn 0 darf ja kein teiler sein, meine ich. Aber wie sieht der beweis aus?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 Di 08.11.2011 | | Autor: | rollroll |
Vorschlag Äq-relation: Muss mich verbessern: gilt fü alle n [mm] \in [/mm] IN
1. --> n|0, denn für alle 0 [mm] \in [/mm] Z gilt: 0 * n=0
--> n|x-x [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] Z
2. [mm] \exists [/mm] c: n*c=x-y --> n*(-c) = y-x
--> n|x-y
3. n|x-y & n|y-z --> [mm] \exists [/mm] w, w': n*w=x-y. n*w'=y-z
--> n(w+w')=x-z --> n|x-z
Kann ich das so beweisen?
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> Vorschlag Äq-relation: Muss mich verbessern: gilt fü alle
> n [mm]\in[/mm] IN
> 1. --> n|0, denn für alle 0 [mm]\in[/mm] Z gilt: 0 * n=0
> --> n|x-x [mm]\forall[/mm] a [mm]\in[/mm] Z
> 2. [mm]\exists[/mm] c: n*c=x-y --> n*(-c) = y-x
> --> n|x-y
> 3. n|x-y & n|y-z --> [mm]\exists[/mm] w, w': n*w=x-y. n*w'=y-z
> --> n(w+w')=x-z --> n|x-z
> Kann ich das so beweisen?
Bei 1. musst du noch hinschreiben, dass man daraus folgert, dass x in Relation zu sich selber steht und damit Reflexivität herrscht.
Bei 2. musst du noch hinschreiben, dass du n|y-x aus dem ganzen folgern kannst, also Symmetrie herrscht.
Bei3. fehlt noch die Menge, aus der dein w, w' kommt. Und wie vorher auch, solltest du erklären, dass man so auf Transitivität kommt.
Du müsstest generell etwas übersichtlicher arbeiten.
Schreib doch hin:
Gegeben:...
Gesucht/zu Zeigen:...
Lösung:...
So würdest du und auch jeder andere, sich besser zurechtfinden 
Vom Prinzip ist dein Ansatz (oder das, was auch immer du gemacht hast) okay...
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ok, danke für die Hinweise, werde ich berücksichtigen.
Was ich jetzt nicht verstehe, ist Teil a) , also der Beweis zu der Ordnungsrelation. Denn bis auf Antisym statt Sym stimmt diese doch mit der Äqrelation überein. Hier ist mir nicht ganz klar, wie ich vorgehen soll.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:09 Mi 09.11.2011 | | Autor: | rollroll |
Weiß jemand was?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:36 Do 10.11.2011 | | Autor: | mcknife |
hi rollroll!
um zu zeigen, dass Rn eine Ordnungsrelation ist, musst du die Reflexivität, Antisymmetrie und Transitivität beweisen - was du ja schon weißt
bei der antiymmetrie muss laut vorschrift gelten: wenn x,y element R und y,x element R, dann x=y.
in diesem fall musst du dir nur ein gegenbeispiel überlegen! denk dir doch mal für x=4 und für y=2.
mcknfife
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:51 Do 10.11.2011 | | Autor: | rollroll |
Dann würde ja gelten: n|(4-2) und n|(2-4)
--> n*z=2 und n*z= -2. --> 2=-2 --> Widerspruch
Gilt dies dann nur für n=0?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:08 Do 10.11.2011 | | Autor: | mcknife |
nein, darum geht es nicht!
es ist richtig, dass du 2 und -2 rausbekommst.
n wäre nun 2 oder 1. also ist (4,2) und (2,4) element R1 bzw. R2, jedoch gilt die implikation der antisymmetrie nicht! sie verlangt, dass wenn (x,y) element R und (y,x) element R => x=y! x ist in unserem Fall aber nicht gleich y! also ist Rn nicht antisymmetrisch und somit auch keine ordnungsrelation!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:46 Do 10.11.2011 | | Autor: | rollroll |
Aber es muss doch ein n geben, sodass Rn eine Ordnungsrelation ist. In meinen Augen ist das die 0. Allein schon aus dem Grund, da man ja sonst Teil c) und d) gar nicht lösen könnte.
c) Für welche n ist Rn eine Totalordnung auf Z?
d) ...................................... Wohlordnung auf Z?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:57 Do 10.11.2011 | | Autor: | mcknife |
"Aber es muss doch ein n geben, sodass Rn eine Ordnungsrelation ist."
nein. muss es nicht! Rn ist keine Totalordnung und somit auch keine Wohlordnung! 0 macht hier keine ausnahme.
zu c: für n=0 kann wegen R0={(x,x)/x element Z} kein Vergleich angestellt werden und ist somit keine Totalordnung.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 Do 10.11.2011 | | Autor: | rollroll |
ich meine ja nur, weil es heißt ,,für welche n gilt...?''
D.h. Rn ist für alle n [mm] \in [/mm] IN eine äquivalenzrelation
aber es existiert kein n [mm] \in [/mm] N, sodass Rn eine Ordnungsraltion, Total-oder Wohlordnung ist. Stimmt das so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:16 Do 10.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> ich meine ja nur, weil es heißt ,,für welche n
> gilt...?''
>
> D.h. Rn ist für alle n [mm]\in[/mm] IN eine äquivalenzrelation
> aber es existiert kein n [mm]\in[/mm] N, sodass Rn eine
> Ordnungsraltion, Total-oder Wohlordnung ist. Stimmt das so?
Falls 0 bei euch eine natürliche Zahl ist, hattest du schon recht damit, dass für $n=0$ eine Ordnungsrelation vorliegt. Der Rest stimmt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:46 Do 10.11.2011 | | Autor: | rollroll |
Bei uns gehört die ,,0'' zu den natürlichen Zahlen.
Also existiert für alle n [mm] \in [/mm] IN eine äquivalenzrelation, nur für n=0 eine Ordnungsrelation.
Wie überprüft man , ob für n=0 auch eine Total-bzw. Wohlordnung vorliegt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:49 Do 10.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> Bei uns gehört die ,,0'' zu den natürlichen Zahlen.
> Also existiert für alle n [mm]\in[/mm] IN eine äquivalenzrelation,
> nur für n=0 eine Ordnungsrelation.
Sicherheitshalber: Für n=0 liegt sowohl eine Äquivalenzrelation als auch eine Ordnungsrelation vor.
> Wie überprüft man , ob für n=0 auch eine Total-bzw.
> Wohlordnung vorliegt?
Checke z.B. für $x=1$, $y=2$, ob mindestens eine der Bedingungen $xR_0y$ oder $yR_0x$ gilt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:23 Do 10.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:24 Do 10.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Do 10.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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