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(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:49 Mo 28.04.2008 | | Autor: | julia.k |
| Aufgabe | Bestimmen Sie je eine 2-Sylowgruppe in
a) der symmetrischen Gruppe [mm] S_{4}
[/mm]
b) der alternierenden Gruppe [mm] A_{5}
[/mm]
c) der alternierenden Gruppe [mm] A_{6} [/mm] |
Hallo!
Ein Vorschlag für die Aufgabe b) wäre {(1,2,5,2,4), id}, für Aufgabe c) wäre {(1,2,3,6,4,5), id} eine Lösung.
Meine Frage: Wie finde ich solche Elemente am besten? Dafür gibt es doch Regeln, z.B. weiß ich, dass ein Element (1,2)(3,4,5) die Ordung 2*3 hat, da (1,2) die Ordnung 2, (3,4,5) die Ordung 3 hat und beide Zyklen disjunkt sind.
Die 2-Sylow in [mm] A_{5} [/mm] hat Ordung 4 - wie bekomme ich so eine Ordnung hin, wenn der Zykel aber die Länge 5 hat?
Die 2-Sylow in [mm] A_{6} [/mm] hat Ordnung 8 - wie läuft das hier? Ich kann mich erinnern, dafür eine Regel gekannt zu haben, aber jetzt fällt sie mir nicht mehr ein.
Würde mich sehr freuen, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte! 
Liebe Grüße,
Julia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:13 Mo 28.04.2008 | | Autor: | statler |
Mahlzeit Julia!
> Bestimmen Sie je eine 2-Sylowgruppe in
> a) der symmetrischen Gruppe [mm]S_{4}[/mm]
> b) der alternierenden Gruppe [mm]A_{5}[/mm]
> c) der alternierenden Gruppe [mm]A_{6}[/mm]
> Ein Vorschlag für die Aufgabe b) wäre {(1,2,5,2,4), id},
> für Aufgabe c) wäre {(1,2,3,6,4,5), id} eine Lösung.
Deine Vorschläge hier verstehe ich nicht.
Die Vierergruppe V4 = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)} liegt in A4, A5 und A6. Als U-Gruppe von A4 muß sie in einer 2-Sylowgruppe von S4 enthalten sein.
In A5 ist sie selbst schon eine 2-Sylow-Gruppe. In A6 wiederum muß sie in einer 2-Sylow-Gruppe enthalten sein.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:48 Mo 28.04.2008 | | Autor: | julia.k |
[mm] A_{5} [/mm] ist keine 2-Sylow:
[mm] |A_{5}| [/mm] = 60 = [mm] 2^2 [/mm] * 3 * 5 daraus folgt:
die 2-Sylow muss Ordnung 4 haben.
Und meine Vorschläge sind jeweils Untergruppen und haben die richtigen Ordnungen: Ordnung 4 als 2-Sylow von [mm] A_{5} [/mm] und wegen
[mm] |A_{6}| [/mm] = 360 = [mm] 2^3 [/mm] * [mm] 3^2 [/mm] * 5 muss hier die 2-Sylow die Ordnung 8 haben, was man durch nachrechnen feststellt: [mm] (1,2,3,6,4,5)^8 [/mm] = id.
Hoffe, du weißt was ich meine. Also wenn ich nicht gerade komplett auf dem Holzweg bin, müsste ich auch Recht haben.
Aber trotzdem vielen Dank für deine Mühen!!
Ciao
Julia
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:29 Di 29.04.2008 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Julia!
> [mm]A_{5}[/mm] ist keine 2-Sylow:
> [mm]|A_{5}|[/mm] = 60 = [mm]2^2[/mm] * 3 * 5 daraus folgt:
> die 2-Sylow muss Ordnung 4 haben.
>
> Und meine Vorschläge sind jeweils Untergruppen und haben
> die richtigen Ordnungen: Ordnung 4 als 2-Sylow von [mm]A_{5}[/mm]
> und wegen
> [mm]|A_{6}|[/mm] = 360 = [mm]2^3[/mm] * [mm]3^2[/mm] * 5 muss hier die 2-Sylow die
> Ordnung 8 haben, was man durch nachrechnen feststellt:
> [mm](1,2,3,6,4,5)^8[/mm] = id.
>
> Hoffe, du weißt was ich meine. Also wenn ich nicht gerade
> komplett auf dem Holzweg bin, müsste ich auch Recht haben.
Leider bist du komplett auf dem Holzweg. Zunächst einmal ist [mm](1,2,3,6,4,5)^{8}[/mm] [mm] \not= [/mm] id. Die Ordnung eines Zyklus ist einfach seine Länge, hier also 6. Es gibt in A6 (und in S6) keine Elemente der Ordnung 8. Wenn du meinen Text richtig gelesen und verstanden hättest, hätte dir klar werden sollen, daß V4 in A5 eine 2-Sylow-Gruppe ist. Das liegt einfach an ihrer Ordnung 4. In S4 und A6 muß es U-Gruppen der Ordnung 8 geben. Aber jede 2-Gruppe liegt in einer 2-Sylow-Gruppe, und die 2-Sylow-Gruppen sind konjugiert, also isomorph. Dann kann auch aus diesem Grunde in beiden Fällen die 2-Sylow-Gruppe nicht die zyklische Gruppe der Ordnung 8 sein, weil sie nämlich keine zu V4 isomorphe U-Gruppe enthält. Die zyklische Gruppe Z8 hat nur ein Element der Ordnung 2, V4 hat 3 davon!
Ich hoffe, ich habe mich bis hier hinreichend klar ausgedrückt. Die beiden Gruppen mußt du noch suchen, ich will ja nicht alles machen. Bei der S4 muß zwangsläufig ein Element mit Signatur -1 (Spiegelung) dazukommen. Bei der A6 geht das gerade nicht. Mögliche Ansätze wären also
für S4: <V4, (12)> und für A6 <V4, (12)(56)>.
Ich laß deine Frage mal teilbeantwortet, vielleicht findet jemand anders eine peppige Lösung..
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:51 Mo 28.04.2008 | | Autor: | julia.k |
Also jetzt noch mal kurz deutlicher:
ich glaube, dass das schon zwei gesuchte 2-Sylows sind. Nur: wie ist man drauf gekommen? Woher weiß ich, dass (1,2,3,6,4,5) die Ordnung 8 hat? Also wenn ich diesen Zykel mal habe, kann ich das ja leicht nachrechnen, aber wie komm ich überhaupt drauf?
Dazu müsste es eine Regel geben... und eben diese suche ich.
Ciao
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Do 01.05.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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