Ordnung von GL_2(Z) < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:04 Mi 10.10.2007 | | Autor: | Manabago |
Hi nochmal! Wir haben bisher in Algebra nur die Gruppenaxiome definiert. Und jetzt soll ich folgende Frage beantworten:
Sei [mm] GL_{2}(\IZ) [/mm] = {A [mm] \in M_{2}(\IZ): det(A)=\pm1 [/mm] } die Menge der invertierbaren 2x2 Matrizen über [mm] \IZ. [/mm] Ich möchte jetzt zeigen, dass ein Element endlicher Ordnung in [mm] GL_{2}(\IZ) [/mm] (dh [mm] A^n=E_{n}) [/mm] die Ordnung 1,2,3,4 oder 6 hat.
Ich hab keine Ahnung wie ich da rangehn soll. Den Begriff Ordnung haben wir noch nicht einmal richtig definiert (hab ich von wikipedia). Kann man diese Aufgabe ohne weiteres Algebrawissen überhaupt lösen? Lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:23 Mi 10.10.2007 | | Autor: | Manabago |
Hat denn hier wirklich noch niemand eine Algebra-VO besucht? Lg
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> Hi nochmal! Wir haben bisher in Algebra nur die
> Gruppenaxiome definiert. Und jetzt soll ich folgende Frage
> beantworten:
> Sei [mm][mm] GL_{2}(\IZ)= [/mm] {A [mm] \in M_{2}(\IZ): det(A)=\pm1} [/mm] die
> Menge der invertierbaren 2x2 Matrizen über [mm][mm] \IZ. [/mm] Ich möchte
> jetzt zeigen, dass ein Element endlicher Ordnung in
> [mm] GL_{2}(\IZ) [/mm] (dh [mm] A^n=E_{n}) [/mm] die Ordnung 1,2,3,4 oder 6 hat.
EDITIERT:
Hallo,
Für die Untergruppe der orthogonalen Matrizen über [mm] \IZ, O_2(\IZ), [/mm] kann man es so zeigen:
Diese stellen Achsenspiegelungen (für det=-1) und Drehungen (für det=1) dar, vermutlich war das in der Linearen Algebra dran.
Die Ordnung von Achsenspiegelungen ist 2.
Man muß sich also überlegen, welche Drehungen vorkommen können.
Die Drehmatrizen in [mm] O_2(\IZ) [/mm] sind ähnlich (Basistransformation) zu [mm] \pmat{ cosx & -sinx \\ sinx & cosx }.
[/mm]
Da die Spuren ähnicher Matrizen gleich sind und die Spur einer [mm] \IZ-Matrix [/mm] eine ganze Zahl ist, muß also
[mm] 2cox\in \IZ [/mm] sein.
Also ist [mm] cosx\in\{0,\pm\bruch{1}{2}, \pm 1\}, [/mm] woraus Du die möglichen Drehwinkel ermitteln kannst. Zu den Ordnungen ist es dann nicht mehr weit.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:42 Fr 26.10.2007 | | Autor: | Manabago |
Dieser Lösungsweg wäre zwar schön, aber leider nicht korrekt! Man kann leicht eine Matrix über Z finden, die Determinante 1 hat, aber sicher nicht orthogonal ist. Wenn man sich klar macht, das als Eigenwerte nur die Einheitswurzeln in Frage kommt, und sich dann das cP berechnet, kommt man zur Lösung. Lg
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> Man kann leicht eine Matrix über Z finden, die
> Determinante 1 hat, aber sicher nicht orthogonal ist.
Da hast Du natürlich völlig recht, gut, daß Du es gemerkt hast.
Ich habe das nur für eine Untergruppe der geforderten Gruppe gezeigt.
Für diese Untergruppe allerdings ist der Beweis sehr hübsch...
Gruß v. Angela
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