Ordnung von Elementen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:08 Fr 24.02.2012 | | Autor: | denzil |
| Aufgabe | | Zu Zeigen: Die multiplikative Einheitengruppe des Ringes [mm] \IZ/18\IZ [/mm] ist isomorph zu [mm] \IZ/6\IZ [/mm] |
Es gilt: multiplikative Einheitengruppe [mm] (\IZ/18\IZ)^{\times} [/mm] = {1, 5, 7, 11, 13, 17} (Für Einheit a in [mm] \IZ/p\IZ [/mm] muss gelten ggT(a,p) = 1).
Für die Ordnungen gilt:
<1> = 1
<5> = 6
<7> = 3
<11> = 3
<17> = 2
Passt nach Satz von Lagrange alles.
Nun zum eigentlichen Problem, [mm] \IZ/6\IZ [/mm] = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Hier gilt doch ebenfalls die Multiplikation als Verknüpfung, oder? Denn dann finde keine Ordnung von 2, 3, 4, 5...
Ohne die Ordnungen zu kennen kann ich auch keinen Isomorphismus von [mm] (\IZ/18\IZ)^{\times} [/mm] nach [mm] \IZ/6\IZ [/mm] finden.
Wo liegt mein Fehler?
|
|
| |
|
moin,
[mm] $\IZ/6\IZ$ [/mm] ist hier mit der Addition gemeint.
Auch wenn das da nicht steht, kannst du es etwa daran erkennen, dass es multiplikativ gar keine Gruppe wäre (etwa die 0 wäre nicht invertierbar).
Für den Isomorphismus bedenke nun:
Sowohl die Einheitengruppe als auch [mm] $\IZ/6\IZ$ [/mm] sind zyklisch, das heißt von einem einzigen Element erzeugt.
Benutzt du diese Eigenschaft (und suchst ggf. noch ein Element der Ordnung 6 in [mm] $\IZ/6\IZ$) [/mm] so dürftest du die Aufgabe hinkriegen.
lg
Schadow
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:23 Sa 25.02.2012 | | Autor: | denzil |
Vielen Dank für deine Antwort,
aber in der Aufgabe selbst steht gar nicht, dass es sich um {0, 1, 2, 3, 4, 5} handelt. Das war meine Interpretation. Schließlich ist das doch egal ob 1-6 oder 0-5?!
Woraus kann ich alleine aus den Angaben der Fragestellung (s. 1. Eintrag) schließen, dass es sich um die additive Gruppe handelt?
|
|
|
| |
|
Nun, zum einen ist modulo 6 betrachtet, [mm] $\{0,1,2,3,4,5\} [/mm] = [mm] \{1,2,3,4,5,6\}$, [/mm] also ist das nicht das Problem.
Davon abgesehen kannst du [mm] $\IZ/6\IZ$ [/mm] eben nicht multiplikativ auffassen, weil es dann eben keine Gruppe mehr wäre; und Gruppenisomorphie ist sinnlos, wenn einer der beteiligten keine Gruppe ist.
Daher weißt du, dass [mm] $\IZ/6\IZ$ [/mm] hier additiv gemeint ist.
lg
Schadow
|
|
|
|
