Ordnung bestimmen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:19 Mi 05.09.2012 | | Autor: | AntonK |
| Aufgabe | | Bestimme die Ordnung der Gruppe [mm] GL_n(\IZ/p\IZ) [/mm] für Primzahlen p. |
Hallo Leute,
ich habe ein Problem damit die Ordnung hierbei zu bestimmen. Erstmal sind das ja alles nxn-Matrixen mit Einträgen 0,1,2...p. Ok soweit klar, jetzt muss ich ja hergehen und bestimmen, wie viele Matrixen es gibt, sprich wie viele Elemente [mm] GL_n(\IZ/p\IZ) [/mm] hat.
Wenn ich z.B. ganz einfach mal n=1 wähle, hat die Gruppe dann ja p Elemente, klar. Wenn n=2 ist, dann wären es doch 4p Elemente und insgesamt wären es doch $n^2p$ Elemente oder nicht?
Danke schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:24 Mi 05.09.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
deine Überlegung stimmt nicht. Versuchs doch mal mit n=2 und p=3, da hast du schon wesentlich mehr als nur 12 Matrizen!
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 Mi 05.09.2012 | | Autor: | AntonK |
Ja, du hast recht. Ansich ist das ganze doch ein Kombinatorisches Problem.
Ich habe bei n=2 vier Plätze zu Verfügung um 0,1,2, sprich 3 Ziffern zu verteilen. Wie viele Kombinationen gibt es?
Für alle Einträge gibt es 3 Möglichkeiten, also ingesamt [mm] 3^4=p^{n^2}
[/mm]
Das müsste jetzt passen oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:10 Mi 05.09.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
hast du dir für den Fall n=2 und p=2 schonmal die Matrizen aufgeschrieben? Wahrscheinlich nicht, denn sonst würdest du feststellen, dass auch dein neuer Lösungsversuch nicht stimmen kann.
Entweder du versuchst es noch ein wenig oder du schaust einfach mal bei Wikipedia nach....
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:48 Mi 05.09.2012 | | Autor: | AntonK |
Ja, habe ich, sind 16 Stück, wobei ich mir nicht sicher bin, ob sowas wie:
[mm] \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
1 & 0
\end{pmatrix}
[/mm]
Als nxn-Matrix durchgeht oder eben die Nullmatrix.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:54 Mi 05.09.2012 | | Autor: | teo |
Nein, das ist falsch! Es sind 6. Schau dir den Eintrag: "Allgemeine Lineare Gruppe" bei Wikipedia an!
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 Mi 05.09.2012 | | Autor: | AntonK |
Ok, ich sehe die Formel und ich sehe auch ein wieso, denn die Nullmatrix z.B. ist ja keine nxn-Matrix. Ich würde die mir aber ganz gerne herleiten. Wüsste aber nicht, wie ich da ran gehen sollte, es hat sicherlich etwas mit dem Spalten und Zeilenrang zu tun, die müssen ja gleich sein oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:29 Mi 05.09.2012 | | Autor: | teo |
> Ok, ich sehe die Formel und ich sehe auch ein wieso, denn
> die Nullmatrix z.B. ist ja keine nxn-Matrix.
Was spricht dagegen in eine nxn-matrix lauter nullen reinzuschreiben? Ich dachte du liest vlt. den ganzen artikel, da würde nämlich die antwort zu deiner frage stehen! Warum geht die 0- Matrix nicht? Weil sie nicht invertierbar ist!
> Ich würde die
> mir aber ganz gerne herleiten. Wüsste aber nicht, wie ich
> da ran gehen sollte, es hat sicherlich etwas mit dem
> Spalten und Zeilenrang zu tun, die müssen ja gleich sein
> oder?
Ja, auch die Herleitung steht in dem Artikel! Die matrizen müssen invertierbar sein! die zeilen und spalten müssen also linear unabhängig sein!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:41 Mi 05.09.2012 | | Autor: | AntonK |
Gut, ich wollte eigentlich nur eine Idee, wie ich es mir herleiten kann, ohne nachzuschauen, aber hat sich nun erübrigt, danke! dir! :D
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