Ordnung Wohlordnung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:50 Mi 27.10.2004 | | Autor: | Toyo |
Hallo, ich habe folgende Aufgabe:
Man zeige, daß jede reflexive Wohlordnung eine (reflexive) Ordnung ist.
Im Grunde ist mir klar, wie es zu machen ist, ich kann es nur nicht richtig aufschreiben und wollte fragen ob ihr mir dabei helfen könnt erstmal was ich mir überlegt habe:
Also angenommen M ist meine Menge und R die Relation: (M,R).
Da M wohlgeordnet ist muss für für alle a1,a2, ..., an Element M.
gelten a1 < a2 <... < an dann ist a1 das min.
Jetzt muss man zeigen, dass diese Relation R antisymetrisch, transitiv u. linear ist (Reflexivität brauch ich nicht wegen Vorraussetzung.)
Ist mein R hier automatisch [mm] \le [/mm] ?
wenn ja dann ist klar:
(Antisymmetrie)
Für bel ak, ai Elemtent M: ak [mm] \le [/mm] ai und ai [mm] \le [/mm] ak => ak = ai
(Transitivität)
Für bel ak,ai,aj Element M: ak [mm] \le [/mm] ai und ai [mm] \le [/mm] aj => ak [mm] \le [/mm] aj
(Linearität)
Für bel. ak,ai Element M: ak [mm] \le [/mm] ai oder ai [mm] \le [/mm] ak.
Kann ich das wirklich so aufschreiben? Danke für eure Mühen
Gruß Toyo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:46 Fr 29.10.2004 | | Autor: | Toyo |
Hallo, ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:
Man zeige,dass jede reflexive Wohlordnung eine (reflexive) Ordnung ist.
Hat einer von euch vielleicht einen Tipp für mich wie ich dass zeigen soll?
Danke für eure Mühen. Gruß Toyo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:39 Fr 29.10.2004 | | Autor: | Irrlicht |
Hallo Toyo,
Schreibe uns, wie ihr in der Vorlesung eine "reflexive Wohlordnung" und eine "reflexive Ordnung" definiert habt. (Ich kenne eine Definition, bei der die Behauptung offensichtlich ist. Vielleicht hast du eine andere.)
Liebe Grüsse,
Irrlicht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:49 Fr 29.10.2004 | | Autor: | Toyo |
Hallo Irrlicht und alle anderen 
wir haben in der Vorlesung eine Wohlordnung (M,R) wie folgt definiert:
1. [mm] M \ne \emptyset \wedge R \subseteq M \times M [/mm]
2. [mm] \forall M' \subseteq M (M' \ne \emptyset \Rightarrow \exists m \in M (m = min M')) [/mm]
Eine Ordnung [mm] (M, \le )[/mm] haben wir wie folgt definiert:
1. M darf nicht leer sein und [mm] \le [/mm] ist Binäre Rel. auf M
2. [mm] \le [/mm] reflexiv
3. [mm] \le [/mm] antisymmetr.
4. [mm] \le [/mm] transitiv
5. [mm] \le [/mm] linear
hoffe das hilft weiter. Gruß Toyo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:46 Fr 29.10.2004 | | Autor: | Irrlicht |
Hallo Toyo,
> Hallo Irrlicht und alle anderen
> wir haben in der Vorlesung eine Wohlordnung (M,R) wie
> folgt definiert:
> 1. [mm]M \ne \emptyset \wedge R \subseteq M \times M[/mm]
> 2. [mm]\forall M' \subseteq M (M' \ne \emptyset \Rightarrow \exists m \in M (m = min M'))[/mm]
So, ich muss für mich die Definition mal in Worte fassen:
1. Also M ist nicht leer und R ist eine Relation auf M.
2. Ist M' eine nichtleere Teilmenge von M, dann hat M' ein Minimum.
Da hab ich schon ein Problem: Wie ist das Minimum von M' definiert? Sicher mit der Relation R, aber wie genau?
Das zweite Problem ist, dass wir voraussetzen müssen, dass eine nichtleere Menge genau ein Minimum hat.
> Eine Ordnung [mm](M, \le )[/mm] haben wir wie folgt definiert:
> 1. M darf nicht leer sein und [mm]\le[/mm] ist Binäre Rel. auf M
> 2. [mm]\le[/mm] reflexiv
> 3. [mm]\le[/mm] antisymmetr.
> 4. [mm]\le[/mm] transitiv
> 5. [mm]\le[/mm] linear
>
> hoffe das hilft weiter. Gruß Toyo
Die Definition einer Ordnung ist schonmal dieselbe wie meine. *g*
Wenn deine Antwort der obigen Frage zur Def. der Wohlordnung so ausfällt, wie ich es vermute, dann kann ich dir helfen (weil ich die Aufgabe schonmal lösen konnte). ;)
Lieben Gruss,
Irrlicht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:11 Sa 30.10.2004 | | Autor: | Toyo |
Hi Irrlicht, hier hab ich noch zusätzlich die Definition des Minimums bzgl der Relation R:
[mm] m= min A bzgl. R : \gdw m \in A \wedge \forall a \in A ((m,a) \in R) [/mm]
Hoffe das hilft weiter. Gruß Toyo
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Gruß!
Unter der zusätzlichen Voraussetzung, dass das "Minimum" einer Menge wie Du es definiert hast, eindeutig bestimmt ist durch seine Eigenschaft, ist die Aufgabe relativ klar:
Antisymmetrie: Seien $a,b [mm] \in [/mm] M$ mit $R(a,b)$ und $R(b,a)$.
Betrachte die Menge [mm] $\{a,b\} \subseteq [/mm] M$. Dann ist nach Definition $a = min(M) = b$, weil das Minimum eindeutig bestimmt ist. Also folgt $a = b$.
Linearität:
Das ist klar: seien $a,b [mm] \in [/mm] M$. Betrachte wieder [mm] $\{ a,b \} \subseteq [/mm] M$. Diese Menge hat ein Minimum, also gilt $R(a,b)$ oder $R(b,a)$.
Transitivität:
Seien $a,b,c [mm] \in [/mm] M$ ohne Einschränkung paarweise verschieden (sonst ist nicht viel zu zeigen, da Reflexivität gegeben ist) mit $R(a,b)$ und $R(b,c)$.
Betrachte nun [mm] $\{ a,b,c \} \subseteq [/mm] M$ und $m := min(M)$.
Falls $m = b$, so folgt $R(b,a)$ und wg. der Antisymmetrie also $a = b$ im Widerspruch zur Annahme.
Falls $m = c$, so folgt $R(c,b)$ und wieder $b = c$ im Widerspruch zur Annahme.
Bleibt nur $m = a$ und das impliziert $R(a,c)$ wie verlangt.
Alles klar?  Wie man sieht, ist die Eindeutigkeit sehr wichtig - sonst kann ich einfach eine beliebige Relation nehmen und die Beweise gehen schief.
Lars
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:55 Sa 30.10.2004 | | Autor: | Irrlicht |
Hallo ihr zwei,
Besser als Gnometech hätt ich es auch nicht machen können. :) Wollt nur noch anmerken, dass ich hierhin geguckt hab und bereit gewesen wäre, dasselbe zu schreiben wie Gnometech. *ggg*
Lieben Gruss,
Irrlicht
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