Ordnung - Autonom < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 05:37 Mo 07.10.2013 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | 1)Klassifiziere die Differentialgleichung. Linear?, Autonom?,Ordnung?
x'= -y
y' = x
2)Transformiere die Differentialgleichung in ein autonomes DGL 1 Ordnung
x'' + t sin(x')= x |
Hallo
Diese Bsps bereiten mir Schwierigkeiten
Wie ist das in dem Fall, wenn ich zwei verschiedene Gleichungen habe? Kann ich die beiden zu einer zusammenfügen?
1)
x'' = - y'
=> -x'' = x
was dann 2.ter Ordnung wäre
autonom
Linear mit konstanten Koeffizienten und homogen
2)
Zuerst wandle ich es in ein DGL 1 Ordnung um
x'' + t sin(x')= x
<=> [mm] \frac{d}{dx} \vektor{x \\ x' \\ x''} [/mm] = [mm] \vektor{x' \\ x'' \\ x- t sin(x')}
[/mm]
<=> [mm] \frac{d}{dx} \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3} [/mm] = [mm] \vektor{x_2 \\ x_3 \\ x_1- t sin(x_2)}
[/mm]
Wie ich es autonom mache(unabhängig von t), hab ich nicht verstanden.
Vlt kann mir das wer erklären.
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Hallo quasimo,
> 1)Klassifiziere die Differentialgleichung. Linear?,
> Autonom?,Ordnung?
> x'= -y
> y' = x
>
> 2)Transformiere die Differentialgleichung in ein autonomes
> DGL 1 Ordnung
> x'' + t sin(x')= x
> Hallo
> Diese Bsps bereiten mir Schwierigkeiten
>
> Wie ist das in dem Fall, wenn ich zwei verschiedene
> Gleichungen habe? Kann ich die beiden zu einer
> zusammenfügen?
Ja.
> 1)
> x'' = - y'
> => -x'' = x
> was dann 2.ter Ordnung wäre
> autonom
> Linear mit konstanten Koeffizienten und homogen
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 2)
> Zuerst wandle ich es in ein DGL 1 Ordnung um
> x'' + t sin(x')= x
> <=> [mm]\frac{d}{dx} \vektor{x \\ x' \\ x''}[/mm] = [mm]\vektor{x' \\ x'' \\ x- t sin(x')}[/mm]
>
> <=> [mm]\frac{d}{dx} \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}[/mm] = [mm]\vektor{x_2 \\ x_3 \\ x_1- t sin(x_2)}[/mm]
>
> Wie ich es autonom mache(unabhängig von t), hab ich nicht
> verstanden.
Nun, der Parameter t ist zu eliminieren,
da autonome DGLn keine explizite Abhängigkeit
von t aufweisen.
Differenziere dazu die DGL und löse dies dann nach t auf.
Ersetze dieses t dann in der gegebenen DGL.
Danach ist die erhaltene DGL umzuwandeln in
ein System 1. Ordnung.
> Vlt kann mir das wer erklären.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:00 Di 08.10.2013 | | Autor: | quasimo |
hallo,
x'' + t sin(x')= x
x''' + sin(x') + t cos(x') * x''(t)=x''
t= [mm] \frac{x'' - x''' - sin(x')}{cos(x') * x''(t)}
[/mm]
=> x'' + [mm] \frac{x'' - x''' - sin(x')}{cos(x') * x''(t)} [/mm] sin(x')= x
Nun in ein System 1.Ordnung umformen. Da stecke ich noch etwas fest...
[mm] \frac{d}{dx} \vektor{x \\ x' \\ x'' \\x'''}= \vektor{x' \\ x'' \\ x''' \\?}
[/mm]
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Hallo quasimo,
> hallo,
>
> x'' + t sin(x')= x
> x''' + sin(x') + t cos(x') * x''(t)=x''
Hier hat sich der Fehlerteufel eingeschlichen:
[mm]x''' + sin(x') + t cos(x') * x''(t)=x\blue{'}[/mm]
> t= [mm]\frac{x'' - x''' - sin(x')}{cos(x') * x''(t)}[/mm]
>
Bei der Auflösung nach t ebenfalls:
[mm]t= \frac{x\blue{'} - x''' - sin(x')}{cos(x') * x''(t)}[/mm]
> => x'' + [mm]\frac{x'' - x''' - sin(x')}{cos(x') * x''(t)}[/mm]
> sin(x')= x
>
> Nun in ein System 1.Ordnung umformen. Da stecke ich noch
> etwas fest...
> [mm]\frac{d}{dx} \vektor{x \\ x' \\ x'' \\x'''}= \vektor{x' \\ x'' \\ x''' \\?}[/mm]
>
Löse die erhaltene DGL auf nach [mm]x'''[/mm]
Gruss
MathePower
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