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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:50 Fr 18.05.2012 | | Autor: | lou.iten |
| Aufgabe | Aus einem Restkarton der Form eines halben gleichseitigen Dreiecks mit einem rechteckigen Streifen soll wie abgebildet der Mantel eines Zylinders ausgeschnitten werden und dann in Pfeilrichtung gerollt werden. Berechne den Radius r und die Höhe h dieses Zylinders mit maximalem Volumen und interpretiere das Resultat.
[Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo miteienander,
ich habe die Breite des Rechtecks als h definiert und probiere, auch die Länge (U) (was dem Umfang des Zylinders entspricht) in h auszudrücken.
Ich komme dann auf U= 60cm - [mm] 1/\wurzel{3} [/mm] * h
daraus folgt: r(Zylinder)= [mm] \bruch{60-\bruch{1*h}{\wurzel{3}}}{2\pi}
[/mm]
Für das maximale Volumen würde ich jetzt [mm] r^{2}*\pi*h [/mm] ableiten und dann null setzten.
An diesem Punkt bin ich aber nicht mehr sicher, wie weiter. Soll ich jetzt r auch durch h ausdrücken , oder kann ich auch zuerst die Volumeformel ableiten?
Wenn ich [mm] r^{2}*\pi*h [/mm] ableite, was bekommt man da raus?...weil eigentlich sind ja r und h konstant, oder?
Danke für eure Hilfe.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:46 Fr 18.05.2012 | | Autor: | abakus |
> Aus einem Restkarton der Form eines halben gleichseitigen
> Dreiecks mit einem rechteckigen Streifen soll wie
> abgebildet der Mantel eines Zylinders ausgeschnitten werden
> und dann in Pfeilrichtung gerollt werden. Berechne den
> Radius r und die Höhe h dieses Zylinders mit maximalem
> Volumen und interpretiere das Resultat.
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Hallo miteienander,
>
> ich habe die Breite des Rechtecks als h definiert und
> probiere, auch die Länge (U) (was dem Umfang des Zylinders
> entspricht) in h auszudrücken.
> Ich komme dann auf U= 60cm - [mm]1/\wurzel{3}[/mm] * h
> daraus folgt: r(Zylinder)=
> [mm]\bruch{60-\bruch{1*h}{\wurzel{3}}}{2\pi}[/mm]
>
> Für das maximale Volumen würde ich jetzt [mm]r^{2}*\pi*h[/mm]
> ableiten und dann null setzten.
Hallo,
wonach willst du denn ableiten? Nach r oder nach h?
Es ist ja gerade das Ziel bei solchen Aufgaben, die ursprünglich von mehreren Variablen abhängige Zielfunktion mit Hilfe der Nebenbedingung so zu vereinfachen, dass die Zielfunktion nur noch eine Variable enthält.
Du hast oben r(Zylinder) durch h ausgedrückt. Also kannst du auch in der Volumenformel statt r den Term mit h verwenden und hast h als einzige Unbekannte. Für das Extremum muss dann V'(h) Null werden.
Allerdings wird dein Term V(h) etwas eklig, weil du deinen Term für r ja noch quadrieren musst. Die Ableitung gestaltet sich einfacher, wenn du [mm]r=\bruch{60-\bruch{1*h}{\wurzel{3}}}{2\pi}[/mm] nach h umstellst und so h durch einen Term mit r ausdrückst. Der Term V(r) lässt sich wesentlich leiter nach r ableiten als der Term V(h) nach h.
Gruß Abakus
> An diesem Punkt bin ich aber nicht mehr sicher, wie
> weiter. Soll ich jetzt r auch durch h ausdrücken , oder
> kann ich auch zuerst die Volumeformel ableiten?
> Wenn ich [mm]r^{2}*\pi*h[/mm] ableite, was bekommt man da
> raus?...weil eigentlich sind ja r und h konstant, oder?
>
> Danke für eure Hilfe.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 Fr 18.05.2012 | | Autor: | lou.iten |
Danke Abakus,
das ist ein guter Input. Wenn ich h durch r ausdrücken möchte, bekomme ich h = [mm] (60-2r\pi)\wurzel{3}
[/mm]
Wenn ich dann ableite, und null setze, bekomme ich [mm] r=40/\pi [/mm] raus. Also Kreisumfang U = 80cm ....
was leider nicht möglich ist....
Ich verstehe nicht, wo ich den Fehler mache.
Kann mir jmd weiterhelfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:37 Fr 18.05.2012 | | Autor: | abakus |
> Danke Abakus,
>
> das ist ein guter Input. Wenn ich h durch r ausdrücken
> möchte, bekomme ich h = [mm](60-2r\pi)\wurzel{3}[/mm]
>
> Wenn ich dann ableite, und null setze, bekomme ich [mm]r=40/\pi[/mm]
> raus. Also Kreisumfang U = 80cm ....
> was leider nicht möglich ist....
>
> Ich verstehe nicht, wo ich den Fehler mache.
> Kann mir jmd weiterhelfen?
Hallo,
es ist durchaus möglich, dass innerhalb des Definitionsbereichs der Zielfunktion kein lokales Maximum auftritt. (Ich habe nicht nachgerechnet.)
Dann liegt vermutlich ein globales Maximum vor (z.B. beim Übergang des schrägen Kartonrandes in den oberen geraden Kartonteil).
Gruß Abakus
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