Optimaler Kreis im Dreieck < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Einem gleichschenkligen Dreieck mit der Grundseite b=6 cm soll ein Innenkreis so eingeschrieben werden, dass das Verhältnis von Kreisfläche zu Dreiecksfläche größtmöglich ist.
Wie hoch muss das Dreieck sein? |
Ich gehe aus von der Formel für den Innenkreis:
r = [mm] \bruch{b*h}{b+2*\wurzel{(\bruch{b}{2})^{2}+h^{2}}}
[/mm]
Also in diesem Fall:
r = [mm] \bruch{6*h}{6+2*\wurzel{(\bruch{6}{2})^{2}+h^{2}}}
[/mm]
Ferner [mm] F_{K} [/mm] = [mm] r^{2}*\pi [/mm] und [mm] F_{D} [/mm] = 3*h
Nun soll [mm] \bruch{F_{K}}{F_{D}} [/mm] maximal sein
Da komme ich im Endeffekt auf folgende Formel (sofern ich mich nicht vertan habe):
[mm] \bruch{12*\pi*h}{(6+2*\wurzel{h²+9})^{2}} [/mm] sei maximal
Nun müsste man hiervon die Ableitung bilden und diese Null setzen. Aber das scheint mir irgendwie eine so verdrusselte 'Arschleder'-Aufgabe zu sein, dass ich da nicht weiter komme.
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Hallo rabilein,
ja, das sieht nach einem Großkampftag aus.
Ich weiß nicht, ob Du Dich verrechnet hast. Aus Deinem jetzigen Ergebnis kann man noch ein bisschen kürzen (genauer: eine 4), und für die Bestimmung des Maximums darf man sogar alle Skalarfaktoren streichen (hier: [mm] 3\pi [/mm] im Zähler). Dann siehts schon etwas besser aus, aber es bleibt viel Arbeit.
Und wenn Du Dich nicht verrechnet hast, wirst Du feststellen, dass die Lösung ein gleichseitiges Dreieck ist, also [mm] h=\bruch{1}{2}\wurzel{3}b.
[/mm]
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:04 Do 28.04.2011 | | Autor: | rabilein1 |
> ja, das sieht nach einem Großkampftag aus.
Ja. Ich bin verzweifelt, weil ich mich andauernd verschreibe / verrechne und daher jedes Mal was anderes raus habe.
> Ich weiß nicht, ob Du Dich verrechnet hast.
Mit Sicherheit. Als Hochpunkt kommt da nicht [mm]h=\bruch{1}{2}\wurzel{3}*6.[/mm] raus.
> ..., wirst Du > feststellen, dass die Lösung ein gleichseitiges Dreieck ist.
Das hatte ich mir schon fast gedacht: Wenn man aus einem Dreieck, das man frei wählen kann, einen Kreis mit möglichst wenig Verschnitt ausschneiden will, dann sollte man ein gleichseitiges Dreieck wählen. Jedenfalls sagt mir das mein Gefühl.
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