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| Aufgabe | Sei $ B [mm] \in L(\IR^2,\IR^2) [/mm] $ beschrieben durch die 2x2-Matrix [mm] B=\pmat{ a & 0 \\ 0 & b }, [/mm] wobei $ [mm] a,b\in\IR$. [/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] $\parallel \! [/mm] B [mm] \! \parallel=max(|a|,|b|)$. [/mm] |
Hallo!
Ich habe eine Lösung der Aufgabe, aber bin mir nicht sicher, ob sie richtig ist.
Fall 1: $|a| [mm] \le [/mm] |b|$
$ [mm] \parallel \! [/mm] B [mm] \! \parallel [/mm] = sup [mm] \left\{ |Bx| \; \big| \; |x| \le 1 \right\} [/mm] $
= sup [mm] \left\{ \left \| \pmat{ a & 0 \\ 0 & b } \cdot \vektor{x_1 \\ x_2} \right \| \; \big| \; |x| \le 1 \right\} [/mm]
= sup [mm] \left\{ \left \| \vektor{ax_1 \\ bx_2} \right \| \; \big| \; |x| \le 1 \right\} [/mm]
= sup [mm] \left\{ \left \| \wurzel{a^2x_1^2+b^2x_2^2} \right \| \; \big| \; \wurzel{x_1^2+x_2^2} \le 1 \right\} [/mm]
[mm] \le [/mm] sup [mm] \left\{ \left \| \wurzel{b^2x_1^2+b^2x_2^2} \right \| \; \big| \; \wurzel{x_1^2+x_2^2} \le 1 \right\}
[/mm]
= sup [mm] \left\{ \left \| |b| \wurzel{x_1^2+x_2^2} \right \| \; \big| \; \wurzel{x_1^2+x_2^2} \le 1 \right\}
[/mm]
= |b|
Für den Fall $|b| [mm] \le [/mm] |a|$ folgt:
$ [mm] \parallel \! [/mm] B [mm] \! \parallel \le [/mm] |a|$
Jetzt kommt mein Problem, denn eigentlich ist damit ja erst gezeigt, dass $ [mm] \parallel \! [/mm] B [mm] \! \parallel \le [/mm] max(|a|,|b|) $ und damit nicht die Gleichheit. Allerdings habe ich leider keine Ahnung, wie ich diese zeigen kann und wäre dankbar für jeden Tipp.
Viele Grüße, Wiebke
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:35 Fr 11.06.2010 | | Autor: | statler |
> Sei [mm]B \in L(\IR^2,\IR^2)[/mm] beschrieben durch die 2x2-Matrix
> [mm]B=\pmat{ a & 0 \\ 0 & b },[/mm] wobei [mm]a,b\in\IR[/mm].
> Zeigen Sie, dass [mm]\parallel \! B \! \parallel=max(|a|,|b|)[/mm].
Hallo!
> Ich habe eine Lösung der Aufgabe, aber bin mir nicht
> sicher, ob sie richtig ist.
>
> Fall 1: [mm]|a| \le |b|[/mm]
> [mm]\parallel \! B \! \parallel = sup \left\{ |Bx| \; \big| \; |x| \le 1 \right\}[/mm]
>
> = sup [mm]\left\{ \left \| \pmat{ a & 0 \\ 0 & b } \cdot \vektor{x_1 \\ x_2} \right \| \; \big| \; |x| \le 1 \right\}[/mm]
> = sup [mm]\left\{ \left \| \vektor{ax_1 \\ bx_2} \right \| \; \big| \; |x| \le 1 \right\}[/mm]
> = sup [mm]\left\{ \left \| \wurzel{a^2x_1^2+b^2x_2^2} \right \| \; \big| \; \wurzel{x_1^2+x_2^2} \le 1 \right\}[/mm]
> [mm]\le[/mm] sup [mm]\left\{ \left \| \wurzel{b^2x_1^2+b^2x_2^2} \right \| \; \big| \; \wurzel{x_1^2+x_2^2} \le 1 \right\}[/mm]
>
> = sup [mm]\left\{ \left \| |b| \wurzel{x_1^2+x_2^2} \right \| \; \big| \; \wurzel{x_1^2+x_2^2} \le 1 \right\}[/mm]
>
> = |b|
>
> Für den Fall [mm]|b| \le |a|[/mm] folgt:
> [mm]\parallel \! B \! \parallel \le |a|[/mm]
>
> Jetzt kommt mein Problem, denn eigentlich ist damit ja erst
> gezeigt, dass [mm]\parallel \! B \! \parallel \le max(|a|,|b|)[/mm]
> und damit nicht die Gleichheit. Allerdings habe ich leider
> keine Ahnung, wie ich diese zeigen kann und wäre dankbar
> für jeden Tipp.
Naja, wenn du [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] geschickt wählst, siehst du, daß bei [mm] \le [/mm] nicht < stehen kann, also auch = vorkommt.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Das verstehe ich nicht ganz. Ich dachte [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] kann man nicht beliebig wählen, denn sie unterstehen doch der Bedingung [mm] \wurzel(x_1^2+x_2^2) \le [/mm] 1.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:12 Fr 11.06.2010 | | Autor: | statler |
> Das verstehe ich nicht ganz. Ich dachte [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] kann
> man nicht beliebig wählen, denn sie unterstehen doch der
> Bedingung [mm]\wurzel(x_1^2+x_2^2) \le[/mm] 1.
Aber eben auch nur der. Was ist denn mit [mm] x_1 [/mm] = 0 und [mm] x_2 [/mm] = 1 oder andersrum?
Gruß
Dieter
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