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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:45 Di 22.07.2008 | | Autor: | steff7 |
| Aufgabe | Sei T,S [mm] \in [/mm] L (H) Man zeige: o(TS) u {0} = o(ST) u {0}
Hinweis: Man zeige die Identität [mm] \lambda [/mm] R(ST) = SR(TS)T - I für [mm] \lambda \not=0 [/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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1. Wie komme ich zu dieser Identität
ich habe ja R(ST)= [mm] (ST-\lambda [/mm] I)^-1 aber was darf ich denn mit dieser inversen machen? welche operationen kann ich hier machen um in die richtung der identität zu kommen?
2. wie schaffe ich dann die verknüpfung zu der eigentlichen aufgabe also zu den Spektren?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:14 Di 22.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Ich kann nur ahnen was das
$ [mm] \lambda [/mm] $ R(ST) = SR(TS)T - I für $ [mm] \lambda \not=0 [/mm] $
bedeuten soll. Ich nehme an, H ist ein komplexer Hilbertraum und T,S sind stetige lineare Operatoren auf H. Weiter nehme ich an, dass o(TS) das Spektrum von TS ist, also [mm] \sigma(TS).
[/mm]
Du sollst also zeigen: aus [mm] \lambda \in \sigma(TS) [/mm] und [mm] \lambda \not= [/mm] 0 folgt [mm] \lambda \in \sigma(ST) [/mm] Dazu kannst Du [mm] \lambda [/mm] = 1 annehmen.
Zu zeigen ist also: ist I -ST invertierbar, so ist I- TS invertierbar.
Dazu gehst du so vor: Ist V die Inverse von I-ST, so betrachte I+TVS.
Viel Glück
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 Di 22.07.2008 | | Autor: | steff7 |
erst einmal danke für die antwort. du hast auch an sich richtig vermutet was ich meinte...leider hab ich nach längerem überlegen noch keine richtige idee wie du das meinst.
Wieso ist denn I-ST invertierbar bzw soll das sein... müsste es das denn nicht sein, da wir uns im Spektrum bewegen?
wenn ich TVS+I stehen habe, wie kann ich dann T(I-ST)^-1S überhaupt behandeln bzw welche math umformungen darf ich hier machen, das ist mir in diesem fall nicht ganz klar...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:09 Mi 23.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Schreibe mal den Hinweis sauber und korrekt auf. Dann sehen wir weiter.
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:57 Mi 23.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Ich bins nochmal.
Zunächst: der Hinweis ist (so wie er oben steht) Unfug, da die Existenz der Inversen nicht gesichert ist.
Aus Symmetriegründen mußt Du nur zeigen:
$ [mm] \sigma(ST) \cup [/mm] ${0} [mm] \subseteq $\sigma(TS) \cup [/mm] ${0}.
Sei also [mm] \lambda \in $\sigma(ST) \cup [/mm] ${0} und M:= [mm] $\sigma(TS) \cup [/mm] ${0}. Es ist zu zeigen: [mm] \lambda \in [/mm] M.
Fall 1: [mm] \lambda [/mm] = 0. Dann: [mm] \lambda \in [/mm] M.
Fall 2: [mm] \lambda \not= [/mm] 0. Annahme: [mm] \lambda \not\in [/mm] M. Dann ist TS- [mm] \lambda [/mm] I invertierbar.
Setze
V:= [mm] 1/\lambda(S(TS-\lambda I)^{-1}T-I).
[/mm]
Das Folgende überlasse ich Dir (es ist nicht schwer). Rechne nach, dass
[mm] (ST-\lambda [/mm] I)V = I = [mm] V(ST-\lambda [/mm] I)
gilt. Dann ist aber [mm] ST-\lambda [/mm] I invertierbar, im Widerspruch zu [mm] \lambda \in \sigma(ST).
[/mm]
FRED
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