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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:36 Fr 10.12.2010 | | Autor: | ella87 |
| Aufgabe | .....
Sei [mm] n \in \IN [/mm]. Sei [mm] [a_k ,a_{k-1} ,...., a_0]_{10}[/mm] die Schreibweise von [mm] n^[/mm] im 10-er System.
Sei [mm]a^{ } = [a_k ,a_{k-1} ,...., a_2]_{10} [/mm] und [mm]b^{ } =[a_1 , a_0]_{10}[/mm]. Beweisen Sie:
[mm] 7|n \gdw 7|2a+b [/mm] |
Ich kenn den Operator "|" nicht.
Er wird auch leider nicht in der Aufgabe erkärt.
Wäre dankbar für eine Erklärung oder einen brauchbaren Link!
Danke
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Hallo ella87,
> .....
> Sei [mm]n \in \IN [/mm]. Sei [mm][a_k ,a_{k-1} ,...., a_0]_{10}[/mm] die
> Schreibweise von [mm]n^[/mm] im 10-er System.
> Sei [mm]a^{ } = [a_k ,a_{k-1} ,...., a_2]_{10}[/mm] und [mm]b^{ } =[a_1 , a_0]_{10}[/mm].
> Beweisen Sie:
>
> [mm]7|n \gdw 7|2a+b[/mm]
> Ich kenn den Operator "|" nicht.
> Er wird auch leider nicht in der Aufgabe erkärt.
"7|n" steht für "7 teilt n".
>
> Wäre dankbar für eine Erklärung oder einen brauchbaren
> Link!
>
> Danke
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:07 Fr 10.12.2010 | | Autor: | ella87 |
| Aufgabe | Die Einleitung zur Aufgabe lautet:
Sei [mm]g \in \IN[/mm] mit [mm]g\ge 2[/mm]. Sei [mm]n \in \IN[/mm] und sei [mm][a_k ,a_{k-1},...,a_0] [/mm] die Schreibweise von n im g-adischen System.
Wir definieren die Quersumme [mm] Q_g (n)[/mm] von n im g-adischen System
[mm] Q_g (n)=\summe_{i=0}^{k}a_i[/mm]
und die alternierende Quersumme [mm] AQ_g (n)[/mm]von n im g-adischen System
[mm] AQ_g (n)=\summe_{i=0}^{k}(-1)^i a_i[/mm]. |
ich muss also beweisen
"7 teilt n" ist äquivalent zu "(7 teilt 2a ) +b"
[mm] 7|n \gdw \exists t_1 \in \IN[/mm] : [mm] 7 * t_1 = n [/mm] und
[mm] 7|2a \gdw \exists t_2 \in \IN[/mm] : [mm] 7 * t_2 = 2a [/mm] und
[mm] n=a_0 +a_1 *10+...+a_k *10^k [/mm]
[mm] a=a_2 *10^2 +a_3 *10^3 +...+a_k *10^k [/mm]
[mm] b=a_0 +a_1 *10 [/mm]
Wie baue ich das denn jetzt zusammen?
[mm] 7 = \bruch{n}{t_1} [/mm] [mm] \gdw[/mm] [mm] 7 = \bruch{2a}{t_2} + b^[/mm]
stimmt das so?
Ich hab grad gesehen, dass es Teilbarkeitsregeln für die Teilbarkeit duch 7 gibt, aber die kann ich doch nicht einfach verwenden oder????
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Hallo ella87,
> Die Einleitung zur Aufgabe lautet:
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> Sei [mm]g \in \IN[/mm] mit [mm]g\ge 2[/mm]. Sei [mm]n \in \IN[/mm] und sei [mm][a_k ,a_{k-1},...,a_0][/mm]
> die Schreibweise von n im g-adischen System.
>
> Wir definieren die Quersumme [mm]Q_g (n)[/mm] von n im g-adischen
> System
> [mm]Q_g (n)=\summe_{i=0}^{k}a_i[/mm]
>
> und die alternierende Quersumme [mm]AQ_g (n)[/mm]von n im g-adischen
> System
> [mm]AQ_g (n)=\summe_{i=0}^{k}(-1)^i a_i[/mm].
>
> ich muss also beweisen
>
> "7 teilt n" ist äquivalent zu "(7 teilt 2a ) +b"
>
> [mm]7|n \gdw \exists t_1 \in \IN[/mm] : [mm]7 * t_1 = n[/mm] und
>
> [mm]7|2a \gdw \exists t_2 \in \IN[/mm] : [mm]7 * t_2 = 2a[/mm] und
>
> [mm]n=a_0 +a_1 *10+...+a_k *10^k[/mm]
>
> [mm]a=a_2 *10^2 +a_3 *10^3 +...+a_k *10^k[/mm]
>
> [mm]b=a_0 +a_1 *10[/mm]
>
> Wie baue ich das denn jetzt zusammen?
> [mm]7 = \bruch{n}{t_1}[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]7 = \bruch{2a}{t_2} + b^[/mm]
>
> stimmt das so?
>
> Ich hab grad gesehen, dass es Teilbarkeitsregeln für die
> Teilbarkeit duch 7 gibt, aber die kann ich doch nicht
> einfach verwenden oder????
Die Teilbarkeitsregeln sind hier nicht anzuwenden.
Stelle n als Linearkombination von a und b dar.
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:06 Fr 10.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Wenn ich die Darstellungsweise richtig interpretiere ist
n= 100a+b= 98a+2a+b= 7*14+2a+b
Dann ist aber die Aussage
$ 7|n [mm] \gdw [/mm] 7|(2a+b) $
(fast) trivial.
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:59 Fr 10.12.2010 | | Autor: | ella87 |
> Wenn ich die Darstellungsweise richtig interpretiere ist
>
> n= 100a+b= 98a+2a+b= 7*14+2a+b
wohin verschwindet das a????
man hat doch dann
n= 7*14*a+2a+b
da 7*14*a durch 7 teilbar ist muss dann auch 2a+b durch 7 teilbar sein, weil eben n (die Summe durch 7 teilbar ist)
ABER: in der Aufgabenstellung steht
[mm]7|n \gdw 7|2a+b[/mm] und nicht [mm]7|n \gdw 7|(2a+b)[/mm]
ist das nut ein Tippfehler?
> Dann ist aber die Aussage
>
>
>
> [mm]7|n \gdw 7|(2a+b)[/mm]
Meine Darstellung von a im vorherigen Eintrag ist falsch, oder?
[mm] a= a_2 *10^2 +.....+a_k * 10^k [/mm] aber es müsste heißen
[mm] a= a_2 *10^0 +.....+a_k * 10^{k-2} [/mm] oder?
>
> FRED
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Hallo,
> > Wenn ich die Darstellungsweise richtig interpretiere ist
> >
> > n= 100a+b= 98a+2a+b= 7*14+2a+b
>
> wohin verschwindet das a????
> man hat doch dann
> n= 7*14*a+2a+b
Das stimmt. Ich denke, dass es ein Tippfehler war. Das a ändert aber an der Aussage nichts, denn 7*14a ist ebenso durch 7 teilbar wie 7*14.
>
> da 7*14*a durch 7 teilbar ist muss dann auch 2a+b durch 7
> teilbar sein, weil eben n (die Summe durch 7 teilbar ist)
>
> ABER: in der Aufgabenstellung steht
>
> [mm]7|n \gdw 7|2a+b[/mm] und nicht [mm]7|n \gdw 7|(2a+b)[/mm]
>
> ist das nut ein Tippfehler?
>
Da kann man drüber streiten - in dieser Schreibweise mit dem senkrechten Strich als Symbol für "teilt" lässt man die Klammern häufig weg.
Lässt sich auch einfach nachvollziehen: Warum sollte man hinten noch ein "+b" dran schreiben? Was soll das für eine mathematische Aussage ergeben? Also 7|2a alleine ist die Aussage, dass 2a durch 7 teilbar ist. Welche Bedeutung hat (7|2a) + b ??? Also macht die Interpretation der Schreibweise 7|2a+b auf diese Weise überhaupt keinen Sinn. Ergo braucht man die Klammern um die 2a+b nicht.
> > Dann ist aber die Aussage
> >
> >
> >
> > [mm]7|n \gdw 7|(2a+b)[/mm]
>
>
>
>
>
>
>
> Meine Darstellung von a im vorherigen Eintrag ist falsch,
> oder?
> [mm]a= a_2 *10^2 +.....+a_k * 10^k[/mm] aber es müsste heißen
> [mm]a= a_2 *10^0 +.....+a_k * 10^{k-2}[/mm] oder?
Stimmt - a ist praktisch der ganzzahlige Anteil bei der Division von n durch 100 und b ist der Rest bei der Division durch 100.
Deswegen ist FREDs Ansatz sehr clever und funktioniert so schnell.
Das wird auch die (bzw. eine) Teilbarkeitsregel durch 7 (die ich nicht auswendig kenne und jetzt auch nicht nachschaue) sein, die du hier nachgewiesen hast:
Ist 5422 durch 7 teilbar?
Nimm zweimal die 54 (das wäre hier der Wert für a) plus die 22 (das wäre b) und prüfe nur diese Zahl, die ja viel kleiner ist. Das gibt 130. Regel nochmal anwenden: zweimal die 1 plus 30 gibt 32. Ist also nicht durch 7 teilbar.
Ist 5425 durch 7 teilbar?
Gleiches Spiel: 2*54 + 25 = 133
Dann: 2*1 + 33 = 35
Ist durch 7 teilbar, also ist 5425 durch 7 teilbar.
Ist nur die Frage, ob die Regel viel schneller klappt als das direkte Aufteilen der Zahl 5425 = 4900 + 525
525 = 490 + 35
Fertig.
Aber gut - ist doch schön, wenn man sich auch einen anderen Weg überlegt hat. Vielleicht ist er ja für Primzahlalgorithmen gut oder so  .
>
> >
> > FRED
>
lg weightgainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:31 Sa 11.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> > Wenn ich die Darstellungsweise richtig interpretiere ist
> >
> > n= 100a+b= 98a+2a+b= 7*14+2a+b
>
> wohin verschwindet das a????
Das war in der Tat ein Tippfehler:
n= 100a+b= 98a+2a+b= 7*14a+2a+b
FRED
> man hat doch dann
> n= 7*14*a+2a+b
>
> da 7*14*a durch 7 teilbar ist muss dann auch 2a+b durch 7
> teilbar sein, weil eben n (die Summe durch 7 teilbar ist)
>
> ABER: in der Aufgabenstellung steht
>
> [mm]7|n \gdw 7|2a+b[/mm] und nicht [mm]7|n \gdw 7|(2a+b)[/mm]
>
> ist das nut ein Tippfehler?
>
> > Dann ist aber die Aussage
> >
> >
> >
> > [mm]7|n \gdw 7|(2a+b)[/mm]
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>
> Meine Darstellung von a im vorherigen Eintrag ist falsch,
> oder?
> [mm]a= a_2 *10^2 +.....+a_k * 10^k[/mm] aber es müsste heißen
> [mm]a= a_2 *10^0 +.....+a_k * 10^{k-2}[/mm] oder?
>
> >
> > FRED
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