Oktaeder Volumen Pyramide < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Durch [mm] E_{a}:2*x_{1}+x_{2}+2*x_{3}+9*(2*a-5)=0 [/mm] sei eine Schar von Ebenen gegeben; h sei die Gerade, die durch die Punkte [mm] S_{1} [/mm] (13/1/9) und [mm] S_{2} [/mm] (5/-3/1) verläuft.
Zeigen Sie, dass jede Ebene [mm] E_{a} [/mm] der Schar orthogonal zur Geraden h verläuft.
Bestimmen Sie den Schnittpunkt [mm] P_{a} [/mm] der Ebene [mm] E_{a} [/mm] mit der Geraden h.
[Zur Kontrolle: [mm] P_{a} [/mm] (13-4*a/1-2*a/9-4*a)]
Für 0<a<=1 schneidet die Ebene von dem abgebildeten Oktaeder eine Pyramide mit der Spitze [mm] S_{1} [/mm] ab.
Ermitteln Sie das Volumen der Pyramide.
Weitere Punkte des Oktaeders: A (13/-5/3); B (11/3/1); C (5/3/7)
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Orthogonalität zu beweisen und den Schnittpunkt zu bestimmen war einfach. Ersteres, da der Normalenvektor und der Richtungsvektor der Gerade h linear abhängig sind. Und zweiteres ist durch Gleichsetzen der Parameterformen zu erreichen.
[mm] E_{a}:\vec{x}=\vektor{-9*a+22,5 \\ 0 \\ 0}+\lambda*\vektor{9*a-22,5 \\ -18*a+45 \\ 0}+ \mu*\vektor{9*a-22,5 \\ 0 \\ -9*a+22,5}
[/mm]
[mm] h:\vec{x}=\vektor{13 \\ 1 \\ 9}+ \nu*\vektor{2 \\ 1 \\ 2}
[/mm]
Das Volumen zu bestimmen ist da schon schwieriger. Erstens bin ich mir unsicher, ob es in Abhängigkeit von a dargestellt werden soll. Wenn a zwischen 0 und 1 sein darf, wird das doch hoffentlich so sein.
Ich habe erstmal die Höhe ausgerechnet, was noch einfach ist, denn sie ist der Betrag des Vektors [mm] S_{1}P_{a}. [/mm]
h=6*a
Die Grundfläche habe ich als Betrag des Kreuzproduktes der Vektoren [mm] P_{A}P_{B} [/mm] und [mm] P_{B}P_{C} [/mm] dargestellt, wobei [mm] P_{A;B;C} [/mm] die Schnittpunkte der Geraden [mm] g_{A,S_{1};B,S_{1};C,S_{1}}) [/mm] mit der Ebene sind.
Mit [mm] \overrightarrow{P_{A}P_{B}}=\vektor{-2*a \\ 10*a \\ -2*a} [/mm] und [mm] \overrightarrow{P_{B}P_{C}}=\vektor{-6*a \\ 0 \\ -6*a} [/mm] ergibt sich
[mm] V=1/3*6*a*|\vektor{-2*a \\ 10*a \\ -2*a}\times\vektor{-6*a \\ 0 \\ -6*a}|=2*\wurzel{7200}*a^3
[/mm]
Ich habe das Volumen auch anders berechnet. Mit Pythagoras und den Schnittpunkten habe ich die Seiten ausgerechnet und komme dabei allerdings auf ein Volumen von [mm] V=1340\bruch{4}{49}*a-2104\bruch{8}{49}*a^2+908\bruch{4}{49}*a^3
[/mm]
Scheint mir aber ein bisschen zu kompliziert.
Angeblich soll das Ergebniss allerdings [mm] 144*a^3 [/mm] sein. Das hab ich so garnicht raus, aber immerhin kommt beim zweiteren 144 raus, wenn a=1 ist^^.
Wenn das nun richtig sein sollte, wo liegt/liegen mein(e) Fehler? Nur Rechenfehler oder vom Ansatz her falsch?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:30 Di 28.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
offensichtlich hast du ein Bild des oktaeders vorliegen, ich nicht.
deshalb ist mir nicht klar wie die Ebene schneidet, und ob da ein Quadrat oder ein Parallelogramm ausgeschnitten wird.
da dein AB nicht senkrecht BC steht ja anscheinend kein Quadrat.
kannst du das Bild posten ?
Welche Groessen du per Pythagoras ausgerechnet hast, und warum dann keine Wurzeln vorkommen versteh ich auch nicht.
auf jeden Fall sieht das mit a, [mm] a^2 [/mm] und [mm] a^3 [/mm] in den Summanden eigenartig aus.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:07 Di 28.10.2008 | | Autor: | Salamence |
Der Oktaeder ist einem Würfel einbeschrieben. Die Mittelpunkte der Seitenflächen sind die Eckpunkte des Oktaeders. Links A, vorne B, rechts C, hinten D, oben S1 und unten S2. Eigentlich sollte es deswegen ein Quadrat sein. Die Ebene ist ja orthogonal zu S1S2.
Auf dem Bild sieht es zwar nicht wie ein Quadrat aus, aber ein Rechteck müsste es doch schon sein.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:17 Di 28.10.2008 | | Autor: | Steini |
Hi,
ein anderer Lösungsansatz wäre das Vektorprodukt, falls ihr das schon hattet.
Du kannst da, wenn du die Seiten (also die Vektoren der seiten) kennst das Spatprodukt bilden.
Was ein Spat ist denke ich weißt du, dann müsstest du nur noch überlegen, welchen Teil davon deine Pyramide einnimmt.
Viele Grüße
Stefan
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