Offenheit bzw. abgeschlossenh. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:23 Do 07.06.2007 | | Autor: | CPH |
| Aufgabe | Untersuche folgende Teilmengen auf Offenheit und Abgeschlossenheit.
a) A = [mm] \{(x, y) \in \IR^2; (x^2 + y^2) < e^{-xy}\}
[/mm]
b) B= [mm] \{f \in C[0, 1]; |f(x)| \le e^x, \forall 0 \le x < 1\} [/mm] (bzgl. der Maximumnorm) |
Hallo, auch hier ist der erste Teil a) trivial:
also, Urbilder offener mengen sind offen, abgeschlossener mengen abgeschlossen:
Urbild von A ist der gesamt [mm] \IR^2 [/mm] unter der abb:
f: (x,y) [mm] \mapsto (x^2 [/mm] + [mm] y^2)-e^{-xy} [/mm]
[mm] \IR^2 [/mm] ist offen und abgeschlossen, also auch A
b) hier habe ich leider keine Ahnung .
Vielleicht gibt es ja eine ähnlich einfache Lösung.
Vielen Dank für eure Hilfe
MfG
Christoph
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:03 Do 07.06.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
um auf auf Offenheit und Abgeschlossenheit zu überprüfen, bestimmst du am besten den Rand und guckst ob er in der Menge enthalten ist oder nicht.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 Do 07.06.2007 | | Autor: | CPH |
Hallo, vielen Dank erst einmal,
wie bestimme ich denn am schnellsten den Rand einer Menge?
bzw. wie bestimme ich den überhaupt?
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Ich denke, [mm]B[/mm] ist abgeschlossen in [mm]C[0,1][/mm]. Mit [mm]d[/mm] bezeichne ich die durch die Maximumnorm bestimmte Metrik.
Sei nun [mm](f_n)[/mm] eine Folge in [mm]B[/mm], die gegen [mm]f \in C[0,1][/mm] konvergiert, d.h.
[mm]d(f_n,f) \to 0[/mm] für [mm]n \to \infty[/mm]
Nach Definition von [mm]B[/mm] ist der Betrag von [mm]f_n(x)[/mm] durch [mm]\operatorname{e}^x[/mm] beschränkt. Wenn man das auch für [mm]f[/mm] zeigen kann, dann gilt [mm]f \in B[/mm]. Damit würde jeder Häufungspunkt von [mm]B[/mm] zu [mm]B[/mm] gehören. [mm]B[/mm] wäre also abgeschlossen.
Der Nachweis von [mm]f \in B[/mm] geht wie so oft mit der Dreiecksungleichung. Wende sie auf
[mm]f(x) = \left( f(x) - f_n(x) \right) + f_n(x)[/mm]
an. Den einen Teil kannst du mit [mm]d(f_n,f)[/mm] abschätzen, für den andern verwende die Voraussetzung [mm]f_n \in B[/mm]. Versuche selbst, die Argumentation zu Ende zu führen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:52 Fr 08.06.2007 | | Autor: | CPH |
Vielen Dank, ich glaube, dass ich das jetzt verstanden hab.
MfG
CPH
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Also, ich finde deine Argumentation für Teil a) nicht ganz schlüssig, dazu ein Änderungsvorschlag: A ist Urbild der offenen Menge der negative reellen Zahlen unter der von dir genannten stetigen Abbildung und damit offen. Es ist aber nicht abgeschlossen, weil es Randpunkte wie (1/0) oder (0/1) nicht enthält. Teil b) ist vermutlich abgeschlossen, ein Argument könnte in die Richtung gehen, dass die Randpunkte dieser Menge, also die Punkte, in deren Umgebung sich immer sowohl Elemente Aus B als auch aus dem Komplement von B befinden, grade die Funktionen sind, deren Maximum 1 ist. Die sind ja nach Definition drin in B! Und aus eben diesem Grund kann es nicht offen sein!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:54 Fr 08.06.2007 | | Autor: | CPH |
Hallo, Vielen Dank, das war mir gar nicht aufgefallen, aber ich denke , du hast recht.
MfG
CPH
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