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Hallo,
ich würde gern zeigen, dass das Intervall [a, b] mit a, b [mm] \in \IR [/mm] und a < b nicht offen ist. Bin mir nicht sicher, ob mein Beweis da okay ist.
Angenommen [a, b] offen [mm] \gdw \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [a, b] [mm] \exits \varepsilon [/mm] > 0 so dass [mm] B_{\varepsilon}(x) \subset [/mm] [a, b].
Nun habe ich mir überlegt ein Gegenbeispiel zu suchen, für das kein [mm] \varepsilon [/mm] > 0 existiert, welches dafür sorgt, dass [a, b] offen ist.
Setze x = a - kann ich ja machen, da dieses x [mm] \in [/mm] [a, b] ist und die Definition für Offenheit für alle Elemente gilt.
Denn wenn ich z.B [mm] \varepsilon [/mm] := min(|x-a|, |x-b|) für dieses x betrachte, so erhalte ich [mm] \vapepsilon [/mm] = min(|a-a|, |x-b|) = min(0, |x-b|) = 0 nur ein Epsilon > 0, was der Bedingung für Offenheit widerspricht.
Aber ist das so okay? Ich schränke [mm] \varepsilon [/mm] ja schon recht radikal ein...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:11 Mo 12.05.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
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> ich würde gern zeigen, dass das Intervall [a, b] mit a, b
> [mm]\in \IR[/mm] und a < b nicht offen ist. Bin mir nicht sicher, ob
> mein Beweis da okay ist.
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> Angenommen [a, b] offen [mm]\gdw \forall[/mm] x [mm]\in[/mm] [a, b] [mm]\exits \varepsilon[/mm]
> > 0 so dass [mm]B_{\varepsilon}(x) \subset[/mm] [a, b].
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> Nun habe ich mir überlegt ein Gegenbeispiel zu suchen, für
> das kein [mm]\varepsilon[/mm] > 0 existiert, welches dafür sorgt,
> dass [a, b] offen ist.
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> Setze x = a - kann ich ja machen, da dieses x [mm]\in[/mm] [a, b]
> ist und die Definition für Offenheit für alle Elemente
> gilt.
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> Denn wenn ich z.B [mm]\varepsilon[/mm] := min(|x-a|, |x-b|) für
> dieses x betrachte, so erhalte ich [mm]\vapepsilon[/mm] = min(|a-a|,
> |x-b|) = min(0, |x-b|) = 0 nur ein Epsilon > 0, was der
> Bedingung für Offenheit widerspricht.
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> Aber ist das so okay? Ich schränke [mm]\varepsilon[/mm] ja schon
> recht radikal ein...
das verstehe ich nicht; am wenigsten verstehe ich, dass Du sagst:
[mm] $\varepsilon=\min\{|a-a|,|b-a|\}=0$ [/mm] und dann danach sagst:
"... nur ein Epsilon > 0"
Wie kann [mm] $\varepsilon=0$ [/mm] gleichzeitig [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ erfüllen? Das macht irgendwie keinen Sinn...
Du musst zeigen:
Es gibt für $a$ kein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$, so dass [mm] $B_\varepsilon(a):=(a-\varepsilon,a+\varepsilon) \subset [/mm] [a,b]$.
(Strenggenommen:
Du hast zu zeigen:
Es gilt nicht für alle [mm] $x_0 \in [/mm] [a,b]$:
Es existiert ein [mm] $\varepsilon=\varepsilon(x_0) [/mm] > 0$ so, dass [mm] $B_\varepsilon(x_0) \subset [/mm] [a,b]$.
D.h., zu zeigen ist:
Es gibt ein [mm] $x_0 \in [/mm] [a,b]$, so dass nicht gilt:
Es gibt ein [mm] $\varepsilon=\varepsilon(x_0) [/mm] > 0$, so dass [mm] $B_\varepsilon(x_0) \subset [/mm] [a,b]$.
M.a.W.:
Du hast zu zeigen:
Es gibt ein [mm] $x_0 \in [/mm] [a,b]$, so dass gilt:
Für alle [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ gilt, dass [mm] $B_\varepsilon(x_0)$ [/mm] nicht Teilmenge von $[a,b]$ ist.
Und Dein Beweis beruht nun darauf, dass [mm] $x_0=a$ [/mm] geeignet ist:
Sei [mm] $x_0=a$. [/mm] Dann ist [mm] $x_0 \in [/mm] [a,b]$...)
Und das kannst Du machen, indem Du einfach zeigst:
Für jedes [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ist [mm] $(a-\varepsilon,a+\varepsilon)$ [/mm] keine Teilmenge von $[a,b]$, d.h. für jedes [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ gibt es einen Punkt [mm] $r=r(a)=r_\varepsilon(a)$, [/mm] so dass $r [mm] \in (a-\varepsilon,a+\varepsilon)$, [/mm] aber $r [mm] \notin [/mm] [a,b]$.
Setze dazu z.B. mal [mm] $r:=a-\frac{\varepsilon}{2}$...
[/mm]
Und analog kannst Du zeigen (wenn Dir danach ist), dass es auch zu $b [mm] \in [/mm] [a,b]$ kein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ so gibt, dass [mm] $B_\varepsilon(b) \subset [/mm] [a,b]$. Ist nämlich [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$, so wähle ein [mm] $s=s(b)=s_\varepsilon(b)$ [/mm] mit $b < s < [mm] b+\varepsilon$ [/mm] (z.B. [mm] $s=b+\frac{\varepsilon}{2}$)...
[/mm]
Gruß,
Marcel
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