Offene / abgeschlossene Mengen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:33 Sa 02.01.2010 | | Autor: | Irina09 |
| Aufgabe | Sind die Mengen offen und/oder abgeschlossen?
(z [mm] $\in$ $\IC$ [/mm] mit Standardmetrik)
1. [mm] \{|z^2|<1\}
[/mm]
2. [mm] \{Im(z) > 0 \wedge z^2 \in \IR \}
[/mm]
3. [mm] \{Re(z) = 0 \vee Im(z) = 0\}
[/mm]
4. [mm] \{Im(z) > 1\} \cap \{z = \bruch{r+i}{r-i}\} [/mm] für ein r [mm] $\in$ $\IR$
[/mm]
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Hallo!
bei der obigen Aufgabe hänge leider ich fest...
Kann mir jemand mit Rat und Tat zur Seite stehen?
Bei 1. habe ich bisher folgendes überlegt:
Nicht offen, da |z²|>=0 und somit gibt es keine Umgebung der Zahl Null, die in der Menge liegt.
Nicht abgeschlossen, da 1 ein Häufungspunkt der Menge ist, aber nicht zur Menge gehört. Korrekt?
Bei den anderen Mengen habe ich derzeit keine Idee.
Liebe Grüße
Irina
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:49 Sa 02.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Irina!
> Sind die Mengen offen und/oder abgeschlossen?
> ([mm]z \in\IC[/mm] mit Standardmetrik)
>
> 1. [mm]\{|z^2|<1\}[/mm]
>
> 2. [mm]\{Im(z) > 0 \wedge z^2 \in \IR \}[/mm]
>
> 3. [mm]\{Re(z) = 0 \vee Im(z) = 0\}[/mm]
>
> 4. [mm]\{Im(z) > 1\} \cap \{z = \bruch{r+i}{r-i}\}[/mm] für ein [mm]r\in\IR[/mm]
>
>
> Hallo!
>
> bei der obigen Aufgabe hänge leider ich fest...
> Kann mir jemand mit Rat und Tat zur Seite stehen?
>
> Bei 1. habe ich bisher folgendes überlegt:
> Nicht offen, da |z²|>=0 und somit gibt es keine Umgebung
> der Zahl Null, die in der Menge liegt.
Nicht richtig. Die Menge ist der Kreisscheibe mit Radius 1 ohne Rand. Da liegt jede [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] der 0 mit [mm] $\varepsilon [/mm] < 1 $ drin. Wie sieht es mit den [mm] $\varepsilon$-Umgebungen [/mm] anderer Punkte aus?
> Nicht abgeschlossen, da 1 ein Häufungspunkt der Menge
> ist, aber nicht zur Menge gehört. Korrekt?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Bei den anderen Mengen habe ich derzeit keine Idee.
Mach dir zunächst einmal klar, wie diese Mengen aussehen.
Beispiel 2: $Im(z) > 0$ bedeutet, dass keine reellen Zahlen dazugehören; [mm] $z^2 \in \IR [/mm] $ bedeutet, dass $z$ entweder reell oder rein imaginär sein muss. Zusammengenommen: diese Menge ist die positive imaginäre Achse.
Jetzt kannst du dein Argument aus Teil 1 verwenden: sei $z$ also eine rein imaginäre Zahl mit positiven Imaginärteil. Betrachte eine beliebige Umgebung von $z$. Gehört diese Umgebung zur Menge?
Für Abgeschlossenheit kannst du entweder wieder die Häufungspunkte anschauen, oder aber die Bedingung, dass eine Menge genau dann abgeschlossen ist, wenn ihr Komplement in [mm] $\IC$ [/mm] offen ist.
Bei der 3 besteht die Menge aus den rein imaginären und den reellen Zahlen.
Bei der 4 bedenke, dass alle Punkte der Menge die Bedingung [mm]z = \bruch{r+i}{r-i}[/mm] für ein festes [mm] $r\in \IR$ [/mm] erfüllen. Wieviele Punkte hat diese Menge?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:25 So 03.01.2010 | | Autor: | Irina09 |
Hallo Rainer,
vielen Dank für die Hilfe!
Entschuldige bitte, dass ich nachfrage, aber mir scheint das Thema noch nicht ganz klar zu sein, da wir bisher immer nur Mengen in [mm] \IR [/mm] betrachtet hatten.
Zu 1.) Wenn es eine Kreisscheibe mit Radius 1 ohne Rand ist, dann ist sie wohl doch offen.
Zu 2.) Da die Menge die die positive imaginäre Achse ist, scheint sie mir nicht offen zu sein. Man hat ja in jeder Umgebung eines Punktes auf dieser Achse auch Punkte, die nicht auf der Achse liegen. Dei Zahl Null könnte hier wieder ein Häufungpunkt sein, der nicht zur Menge gehört, also nicht abgeschlossen.
Zu 3.) /4.) (ich kann leider nicht angegeben, wie viele Punkte die Menge hat) habe ich leider immer noch keine rechte Ahnung.
Herzliche Grüße
Irina
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:14 So 03.01.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo Rainer,
>
> vielen Dank für die Hilfe!
> Entschuldige bitte, dass ich nachfrage, aber mir scheint
> das Thema noch nicht ganz klar zu sein, da wir bisher immer
> nur Mengen in [mm]\IR[/mm] betrachtet hatten.
>
> Zu 1.) Wenn es eine Kreisscheibe mit Radius 1 ohne Rand
> ist, dann ist sie wohl doch offen.
>
> Zu 2.) Da die Menge die die positive imaginäre Achse ist,
> scheint sie mir nicht offen zu sein. Man hat ja in jeder
> Umgebung eines Punktes auf dieser Achse auch Punkte, die
> nicht auf der Achse liegen. Dei Zahl Null könnte hier
> wieder ein Häufungpunkt sein, der nicht zur Menge gehört,
> also nicht abgeschlossen.
>
> Zu 3.) /4.) (ich kann leider nicht angegeben, wie viele
> Punkte die Menge hat) habe ich leider immer noch keine
> rechte Ahnung.
Hallo,
die Menge von 3) besteht aus beiden Achsen - mehr nicht.
Für ein konkretes r ist sowohl r+i als auch r-i jeweils genau eine komplexe Zahl.
Der Quotient zweier konkreter komplexer Zhlen ist (sofern der Nenner nicht Null ist) auch genau eine Zahl. Die gesuchte Menge 4) kann also (höchstens) aus einem einzigen Punkt der komplexen Ebene bestehen!
Gruß Abakus
>
> Herzliche Grüße
> Irina
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:10 Di 05.01.2010 | | Autor: | Irina09 |
| Aufgabe | Sind die Mengen offen und/oder abgeschlossen?
(z [mm] $\in$ $\IC$ [/mm] mit Standardmetrik)
1. [mm] \{|z^2|<1\}
[/mm]
2. [mm] \{Im(z) > 0 \wedge z^2 \in \IR \}
[/mm]
3. [mm] \{Re(z) = 0 \vee Im(z) = 0\}
[/mm]
4. [mm] \{Im(z) > 1\} \cap \{z = \bruch{r+i}{r-i}\} [/mm] für ein r [mm] $\in$ $\IR$ [/mm] |
Hallo!
Danke dir Abakus für die Hilfestellungen!
Zusammenfassung meiner Ergebnisse:
1. offen, nicht abgeschlossen
2. nicht offen, nicht abgeschlossen
3. nicht offen, da in jeder Umgebung eines Punktes auf den Achsen auch Punkt sind, die nicht auf der Achse liegen; abgeschlossen, da ich keinen Häufungspunkt erkennen kann, der nicht zur Menge gehörte
4. nicht offen und abgeschlossen, da endliche Mengen stets diese Eigenschaften haben.
Stimmt das so oder habe ich noch Fehler drin?
P.S.: Vielen Dank für die tolle Hilfe in diesem Forum (ich habe sie als Anfängerin bitter nötig)!
Liebe Grüße
Irina
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:22 Di 05.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sind die Mengen offen und/oder abgeschlossen?
> (z [mm]\in[/mm] [mm]\IC[/mm] mit Standardmetrik)
>
> 1. [mm]\{|z^2|<1\}[/mm]
>
> 2. [mm]\{Im(z) > 0 \wedge z^2 \in \IR \}[/mm]
>
> 3. [mm]\{Re(z) = 0 \vee Im(z) = 0\}[/mm]
>
> 4. [mm]\{Im(z) > 1\} \cap \{z = \bruch{r+i}{r-i}\}[/mm] für ein r
> [mm]\in[/mm] [mm]\IR[/mm]
> Hallo!
>
> Danke dir Abakus für die Hilfestellungen!
>
> Zusammenfassung meiner Ergebnisse:
> 1. offen, nicht abgeschlossen
Richtig
> 2. nicht offen, nicht abgeschlossen
Richtig
> 3. nicht offen, da in jeder Umgebung eines Punktes auf
> den Achsen auch Punkt sind, die nicht auf der Achse liegen;
> abgeschlossen,
> da ich keinen Häufungspunkt erkennen kann,
> der nicht zur Menge gehörte
Tolle Begründung !
Betrachte mal das Komplement der Menge !
> 4. nicht offen und abgeschlossen, da endliche Mengen stets
> diese Eigenschaften haben.
Bist Du sicher, dass die Menge so lautet
$ [mm] \{Im(z) > 1\} \cap \{z = \bruch{r+i}{r-i}\} [/mm] $ für ein r $ [mm] \in [/mm] $ $ [mm] \IR [/mm] $
und nicht so:
{ Im(z) > 1 } [mm] \cap [/mm] { z = [mm] \bruch{r+i}{r-i} [/mm] für ein r [mm] \in \IR [/mm] }
?
FRED
>
> Stimmt das so oder habe ich noch Fehler drin?
>
> P.S.: Vielen Dank für die tolle Hilfe in diesem Forum (ich
> habe sie als Anfängerin bitter nötig)!
>
> Liebe Grüße
> Irina
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:56 Di 05.01.2010 | | Autor: | Irina09 |
Stimmt, FRED, du hast recht! DANKE!
Mist, das ändert - glaube ich - den mathematischen Sachverhalt. Die Menge ist dann doch nicht endlich! Ich kann mit dieser Menge dann aber leider überhaupt nichts anfangen...
Zu 3.: Das Komplement hat die imaginäre Achse und die reele Achse als Häufungspunkte. Diese gehören nicht zur Mengen, also ist das Komplement nicht abgeschlossen, daher ist die Menge nicht offen. Das Komplement ist offen, da der Rand nicht dazugehört (jeder Punkt ist inner), also ist die Menge abgeschlossen.
DANKE!!!
Gruß
Irina
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:57 Di 05.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Irina!
> Stimmt, FRED, du hast recht! DANKE!
> Mist, das ändert - glaube ich - den mathematischen
> Sachverhalt. Die Menge ist dann doch nicht endlich! Ich
> kann mit dieser Menge dann aber leider überhaupt nichts
> anfangen...
Ah, so schlimm ist es gar nicht. Rechne doch mal Real- und Imaginärteil von
[mm] z= \bruch{r+i}{r-i} [/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
aus und prüfe nach, was die Bedingung $\mathop{\mathrm{Im} z > 1$ für die möglichen Werte von r bedeutet!
> Zu 3.: Das Komplement hat die imaginäre Achse und die
> reele Achse als Häufungspunkte. Diese gehören nicht zur
> Mengen, also ist das Komplement nicht abgeschlossen, daher
> ist die Menge nicht offen. Das Komplement ist offen, da der
> Rand nicht dazugehört (jeder Punkt ist inner), also ist
> die Menge abgeschlossen.
Viele Grüße
Rainer
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