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| Aufgabe | | Der Durchschnitt von abzählbar vielen offenen Mengen ist wieder offen. |
Huhu,
ich habe mal wieder eine Frage...also, ich soll die o.g. Aussage durch ein Beispiel bestätigen. Nun habe ich eine Frage zu den Beispielen und würde mich freuen, wenn ihr mir weiterhelfen könntet.
i) Durchschnitt abzählbar vieler offener Mengen ist offen.
Ich habe das Beispiel: Sei [mm] U_n [/mm] = ] [mm] -\bruch{1}{n}, 1+\bruch{1}{n}[ [/mm] mit [mm] n\in \IN, [/mm] n= 1,2,...eine offene Menge (Ist das richtig?).
Dann ist [mm] \bigcap_{i=1}^{10} U_n [/mm] = [mm] \bigcap_{i=1}^{10} [/mm] ] [mm] -\bruch{1}{n},1+\bruch{1}{n}[ [/mm] = [mm] ]-\bruch{1}{10}, \bruch{11}{10}[ [/mm] ist auch offen?
Habt ihr vielleicht noch ein anderes Beispiel, was den Satz oben bestätigt.
Über Hilfe freue ich mich.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:27 Di 23.01.2007 | | Autor: | statler |
> Der Durchschnitt von abzählbar vielen offenen Mengen ist
> wieder offen.
Mahlzeit!
> ich habe mal wieder eine Frage...also, ich soll die o.g.
> Aussage durch ein Beispiel bestätigen. Nun habe ich eine
> Frage zu den Beispielen und würde mich freuen, wenn ihr mir
> weiterhelfen könntet.
>
> i) Durchschnitt abzählbar vieler offener Mengen ist offen.
Ich kenne das so, daß abzählbar bedeutet 'endlich viele' oder 'abzählbar unendlich viele', und dann stimmt das nicht.
> Ich habe das Beispiel: Sei [mm]U_n[/mm] = ] [mm]-\bruch{1}{n}, 1+\bruch{1}{n}[[/mm]
> mit [mm]n\in \IN,[/mm] n= 1,2,...eine offene Menge (Ist das
> richtig?).
Das ist richtig!
> Dann ist [mm]\bigcap_{i=1}^{10} U_n[/mm] = [mm]\bigcap_{i=1}^{10}[/mm] ]
> [mm]-\bruch{1}{n},1+\bruch{1}{n}[[/mm] = [mm]]-\bruch{1}{10}, \bruch{11}{10}[[/mm]
> ist auch offen?
Das ist auch richtig, aber es ist ein endlicher Durchschnitt! Bilde den Durchschnitt doch mal für alle natürlichen Zahlen, was passiert dann?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Hm, also versteh ich jetzt auch nicht so, es sei denn ich soll das so machen:
[mm] \bigcap_{i=1}^{n} ]-\bruch{1}{n},1+\bruch{1}{n}[...
[/mm]
???
Und was nu?
Und meine zweite Frage ist:
ii) Durchschnitt unendlich vieler offener Mengen ist nicht wieder offen. Beispiel:
Sei [mm] U_n=]-\bruch{1}{n},\bruch{1}{n}[. [/mm] Dann ist [mm] \bigcap_{i=1}^{\infty} ]-\bruch{1}{n},\bruch{1}{n}[ [/mm] = {0} nicht offen, aber abgeschlossen, oder? Stimmt dieses Beispiel wenigstens?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:39 Mi 24.01.2007 | | Autor: | statler |
> Hm, also versteh ich jetzt auch nicht so, es sei denn ich
> soll das so machen:
>
> [mm]\bigcap_{i=1}^{n} ]-\bruch{1}{n},1+\bruch{1}{n}[...[/mm]
>
Das meinst du wahrscheinlich nicht, war oben auch schon falsch geschrieben, habe ich aber übersehen. Wenn du
[mm] \bigcap_{i=1}^{n} ]-\bruch{1}{i},1+\bruch{1}{i}[
[/mm]
meinst, dann ist das [mm] ]-\bruch{1}{n},1+\bruch{1}{n}[
[/mm]
und das ist eine offene Menge.
[mm] \bigcap_{i=1}^{\infty} ]-\bruch{1}{i},1+\bruch{1}{i}[
[/mm]
ist = [0, 1], und das ist ein abgeschlossenes Intervall.
Über unendliche Durchschnitte von offenen Mengen kann man i. a. keine Aussagen machen, das kann so oder anders sein. Unten hast du noch ein Beispiel dafür, daß der Durchschnitt dann abgeschlossen sein kann.
> Und meine zweite Frage ist:
>
> ii) Durchschnitt unendlich vieler offener Mengen ist nicht
> wieder offen. Beispiel:
>
> Sei [mm]U_n=]-\bruch{1}{n},\bruch{1}{n}[.[/mm] Dann ist
> [mm]\bigcap_{i=1}^{\infty} ]-\bruch{1}{n},\bruch{1}{n}[[/mm] = {0}
> nicht offen, aber abgeschlossen, oder? Stimmt dieses
> Beispiel wenigstens?
Ja.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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