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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:06 Fr 28.06.2013 | | Autor: | Helicase |
| Aufgabe | Seinen [mm] M_{1} [/mm] eine offene Menge und [mm] M_{2} [/mm] eine beliebige Menge des [mm] \IR^{n}. [/mm] Beweisen Sie, dass die Menge
M = {x + y [mm] \in \IR^{n}: [/mm] x [mm] \in M_{1}, [/mm] y [mm] \in M_{2}})
[/mm]
offen ist. |
Hallo,
eigentlich erscheint die Aufgabe nicht sonderlich schwer, aber trotzdem finde ich keinen Ansatz, der zum Ziel führt.
Allgemein bedeutet "offen", dass wir ja zu jedem Element z aus M eine Umgebung um z finden, die komplett in M liegt.
Im metrischen Raum kann man auch sagen, dass eine Teilmenge U des [mm] \IR^{n} [/mm] offen ist, wenn es zu jedem x [mm] \in [/mm] U ein [mm] \varepsilon [/mm] > 0 gibt, sodass ein zweiter Punkt y aus [mm] \IR^{n}, [/mm] dessen Abstand zu x kleiner als [mm] \varepsilon [/mm] ist in U liegt.
Aber leider komme ich mit den formalen Definition nicht zu recht und weiß ich nicht, wie ich sie anwenden muss.
Bin für Hinweise dankbar.
Gruß Helicase
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Hallo,
Die Offenheit einer Menge M kann man auf mehrere Arten definieren.
Du behauptest:
[mm] U \subset \IR^{n} [/mm] offen [mm] \gdw \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] U [mm] \exists \epsilon [/mm] > 0 sodass y [mm] \in [/mm] U genau dann wenn : d(x,y) < [mm] \epsilon.
[/mm]
Gut dann beginne mal mit einem Ansatz bzw. versuche einen Beginn.
Lg Thomas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:00 Fr 28.06.2013 | | Autor: | Helicase |
Hallo Thomas,
ich würde mir jetzt zwei Elemente aus M hernehmen:
[mm] z_{1}, z_{2} \in [/mm] M, wobei
[mm] z_{1} [/mm] = [mm] x_{1} [/mm] + [mm] y_{1} [/mm] und
[mm] z_{2} [/mm] = [mm] x_{2} [/mm] + [mm] y_{2}.
[/mm]
Zeigen muss man nun: [mm] d(z_{1}, z_{2}) [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Nun muss man das ja irgendwie abschätzen?
Da würde ich jetzt die Dreiecksungleichung für die Metrik ansetzen ...
Das würde mir jetzt einfallen, ist das so machbar ?
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> Hallo Thomas,
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> ich würde mir jetzt zwei Elemente aus M hernehmen:
>
> [mm]z_{1}, z_{2} \in[/mm] M, wobei
>
> [mm]z_{1}[/mm] = [mm]x_{1}[/mm] + [mm]y_{1}[/mm] und
> [mm]z_{2}[/mm] = [mm]x_{2}[/mm] + [mm]y_{2}.[/mm]
Ok, [mm] z_{1,2} [/mm] sind nun Elemente aus M. Per Definition von M bestehen diese aus x+y wobei x [mm] \in M_{1}, [/mm] y [mm] \in M_{2}
[/mm]
bisweilen hast du nur zwei spezielle Elemente und deren Form lt. Def. deiner Menge M hingeschrieben.
>
> Zeigen muss man nun: [mm]d(z_{1}, z_{2})[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> Nun muss man das ja irgendwie abschätzen?
> Da würde ich jetzt die Dreiecksungleichung für die Metrik
> ansetzen ...
Welche Metrik? Du musst mal erklären mit welcher Metrik du den [mm] \IR^{n} [/mm] versiehst? also du willst einen Metrischen Raum [mm] (\IR^{n},d) [/mm] schaffen?
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> Das würde mir jetzt einfallen, ist das so machbar ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:08 Sa 29.06.2013 | | Autor: | Helicase |
Ja, der [mm] \IR^{n} [/mm] bildet mit der euklidischen Metrik einen metrischen Raum.
Seien a,b [mm] \in [/mm] M.
Also ist
d(a,b) = [mm] \wurzel{(a_{1} - b_{1})^{2} + ... + (a_{n} - b_{n})^{2}}
[/mm]
= [mm] \wurzel{(x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}))^{2} + ... + (x_{n} + y_{n} - (x_{n+1} + y_{n+1}))^{2}}
[/mm]
= [mm] \wurzel{(x_{1} - x_{2} + y_{1} - y_{2})^{2} + ... + (x_{n} - x_{n+1} + y_{n} - y_{n+1})^{2}}
[/mm]
Kann man da jetzt etwas abschätzen ? Bzw. einbringen, dass [mm] M_{1} [/mm] offen ist ?
Danke.
Gruß Helicase
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> Ja, der [mm]\IR^{n}[/mm] bildet mit der euklidischen Metrik einen
> metrischen Raum.
>
> Seien a,b [mm]\in[/mm] M.
>
> Also ist
>
> d(a,b) = [mm]\wurzel{(a_{1} - b_{1})^{2} + ... + (a_{n} - b_{n})^{2}}[/mm]
Ja das ist die Def. der euklidischen Metrik für Punkte a,b [mm] \in \IR^{n}
[/mm]
>
> = [mm]\wurzel{(x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}))^{2} + ... + (x_{n} + y_{n} - (x_{n+1} + y_{n+1}))^{2}}[/mm]
>
> = [mm]\wurzel{(x_{1} - x_{2} + y_{1} - y_{2})^{2} + ... + (x_{n} - x_{n+1} + y_{n} - y_{n+1})^{2}}[/mm]
>
> Kann man da jetzt etwas abschätzen ? Bzw. einbringen, dass
> [mm]M_{1}[/mm] offen ist ?
Versuche es!
>
Die Tatsache, dass die Menge M1 offen ist wird vermutlich in jedem Beweis ein wichtiger Grundstein sein.
[mm] \IR^{n} [/mm] ist im übrigen mit einigen Metriken versehen ein metrischer Raum - die euklidische ist eine davon - ja.
Gruß
THomas
> Danke.
>
> Gruß Helicase
>
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Leider führen meine Versuche nicht weit ....
Wenn an diesem Ausdruck noch ein bisschen rumbastel erhalte ich
= [mm] \wurzel{(x_{1} - x_{2})^{2} + (y_{1} - y_{2})^{2} - 2*(y_{2} - y_{1})*(x_{1} - x_{2}) + ... + (x_{n} - x_{n+1})^{2} + (y_{n} - y_{n+1})^{2} - 2*(y_{n+1} - y_{n})*(x_{n} - x_{n+1})}
[/mm]
= [mm] \wurzel{(x_{1} - x_{2})^{2} + ... + (x_{n} - x_{n+1})^{2} + (y_{1} - y_{2})^{2} + ... + (y_{n} - y_{n+1})^{2} - 2*(y_{2} - y_{1})*(x_{1} - x_{2}) - ... - 2*(y_{n+1} - y_{n})*(x_{n} - x_{n+1})}
[/mm]
Wie kann das jetzt geeignete abschätzen ?
Damit ich dann [mm] d(x_{1}, x_{2}) [/mm] verwenden kann.
Gruß Helicase.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Di 02.07.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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