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Hallo,
ich muss die offenen Kugeln des metrischen Raumes [mm] (\IR [/mm] ^{2},d) bestimmen.
Macht man das mit der Metrik die einem bei der Aufgabe gegeben ist, oder ist die Metrik dabei unerheblich?!
Und wie macht man das dann?
Habe diese Frage auf keiner anderen Internetseite gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:10 Mo 08.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> ich muss die offenen Kugeln des metrischen Raumes [mm](\IR[/mm]
> ^{2},d) bestimmen.
> Macht man das mit der Metrik die einem bei der Aufgabe
> gegeben ist, oder ist die Metrik dabei unerheblich?!
Man macht das natuerlich mit der angegebenen Metrik. Ansonsten bekommt man ja nachher noch ganz andere `Kugeln' die nichts mit der Metrik zu tun haben...
> Und wie macht man das dann?
Versuche, zu einem Punkt $a [mm] \in \IR^2$ [/mm] alle Punkte $b [mm] \in \IR^2$ [/mm] mit $d(a, b) = [mm] \varepsilon$ [/mm] zu bestimmen, fuer ein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$. (Am besten moeglichst allgemein, also fuer allgemeines $a, b, [mm] \varespilon$; [/mm] wenn das zu kompliziert ist kannst du dir auch zuerst Spezialfaelle anschauen.)
Dann versuchst du mit dem Wissen die Kugeln zu beschreiben. Wenn du z.B. die euklidische Metrik [mm] $d((a_1, a_2), (b_1, b_2)) [/mm] = [mm] \sqrt{(a_1 - b_1)^2 + (a_2 - b_2)^2}$ [/mm] hast, dann ist $d(a, b) = [mm] \varepsilon$ [/mm] genau dann, wenn $b$ auf der Kreislinie (im herkoemmlichen Sinne  ) mit Radius [mm] $\varepsilon$ [/mm] um $a$ liegt. Und damit sind die Kugeln genau das, was man erwartet: naemlich Kreise. Bei anderen Metriken koennen die Kugeln z.B. Ecken haben oder sonstwelche lustigen Formen annehmen.
LG Felix
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:29 Mo 08.05.2006 | | Autor: | Buslenker |
Danke,
wie würde dann denn jetzt die offene Kugel denn jetzt bei d(x,y):= [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_{2} [/mm] + [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_{2} [/mm] aussehn?
Überall wo [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_{2} [/mm] kleiner ist als [mm] \parallel [/mm] y [mm] \parallel_{2} [/mm] macht ja wenig Sinn... (außerdem ist es ja auch nicht so schön anschaulich)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:31 Mo 08.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> wie würde dann denn jetzt die offene Kugel denn jetzt bei
> d(x,y):= [mm]\parallel[/mm] x [mm]\parallel_{2}[/mm] + [mm]\parallel[/mm] x
> [mm]\parallel_{2}[/mm] aussehn?
Also das eine $x$ soll sicher ein $y$ sein? Und selbst dann: Das ist auf keinen Fall eine Metrik! (Dafuer muesste ja $d(x, x) = 0$ sein fuer jedes $x$, aber hier gilt es nur fuer $x = 0$!)
LG Felix
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 21:39 Mo 08.05.2006 | | Autor: | Buslenker |
Ja, da hast du recht, aber es geht in meiner Aufgabe um eine Metrik, die anders definiert ist, falls x,y linear abhängig sind, das wäre dann ja der Fall x=y:.
Bleibt immer noch die Frage wie das Ding dann aussehen würde....
Danke nochmal
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:53 Mo 08.05.2006 | | Autor: | choosy |
gib die metrik doch einfach mal genau an...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:13 Mo 08.05.2006 | | Autor: | Buslenker |
[mm] d(x,y)=\begin{cases} \parallel x-y \parallel_{2}, & \mbox{x,y linear abhängig } \\ \parallel x \parallel_{2} + \parallel y \parallel_{2} , & \mbox{sonst } \end{cases}
[/mm]
Für den Fall der linearen Abhängigkeit ist mir klar wie die offene Kugel aussieht, aber für den unteren Fall leider nicht
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