Offene Kugel sind offene Menge < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
leider komme ich nicht darauf wie man zeigen kann,
das Offene Kugel offene Megen sind in Rellen Zahlen z.B.
Vielleicht kann mir einen ein Tipp bezüglich der Dreiecksungleichung geben.
danke freshstyle
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:53 So 24.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
in denn reellen Zahlen sind offene Kugeln = offene Intervalle.
z.Bso (1,2) wähle [mm] r\in [/mm] (1,2) dann gilt [mm] |r-2|=\delta_1>0 [/mm] und [mm] |r-1|=\delta_2>0
[/mm]
d. h. es gibt eine [mm] \delta [/mm] Umgebung von r mit [mm] \delta=Min(\delta_,\delta_2) [/mm] und
[mm] |r-x|<\delta [/mm] mit [mm] x\in [/mm] (1,2)
Gruss leduart.
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HALLO,
danke für deine Antwort,
aber ich wollte das für allgemeine Kugel haben in einen belibiegen Metrischen Raum.
Leider hatte ich mich vertahen bei der Fragestellung, tut mir leid.
Danke
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Hallo!
Sei [mm]d[/mm] die Metrik. Zu zeigen ist, dass [mm]B(x_0, r) = \{ y : d(x_0, y) < r \}[/mm] offen ist, d.h. dass zu jedem [mm]x \in B(x_0, r)[/mm] ein [mm]s>0[/mm] existiert mit [mm]B(x, s) \subset B(x_0, r)[/mm]. Wenn du dir das mal aufzeichnest, siehst du, dass es mit [mm]s = r - d(x_0, x)[/mm] funktionieren könnte. Jetzt musst du dir überlegen, warum [mm]s>0[/mm] ist und warum für jedes [mm]y \in B(x,s)[/mm] bereits [mm]y \in B(x_0, r)[/mm] gilt. Wenn du [mm]y \in B(x,s)[/mm] mit Hilfe von [mm]d[/mm] ausschreibst und die Definition von [mm]s[/mm] einsetzt, wirst du sehen, wo und wie man die Dreiecksungleichung verwenden kann. Ansonsten frag nochmal nach.
Grüße,
Matthias.
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Ok,
habe das schon vor versucht, also soweit bin ich gekommen. Graphisch ist mir das klar.
Sei $ y [mm] \in [/mm] B(x,s) $ und seine $x, [mm] y_0 \in B(x_0,r)
[/mm]
dann gilt $ [mm] d(x_0,y_0) [/mm] <= [mm] d(x_0,x) [/mm] + [mm] d(x,y_0) [/mm] <= [mm] d(x_0,x) [/mm] +s $
Wie zeige ich jetzt das [mm] $d(x,x_0)<=s$ [/mm] mit dieser Ungleichung dort oben.
Danke
freshstyle
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Hallo.
Ich nehme an, dass bei dir [mm]y[/mm] und [mm]y_0[/mm] dasselbe bedeuten. Wenn du in deiner Abschätzung [mm]s=r-d(x_0,x)[/mm] einsetzt, bekommst du [mm]d(x_0,y)
Die Ungleichung [mm]d(x,x_0) \leq s[/mm] ist i.a. nicht erfüllt, aber das brauchen wir auch nicht.
Grüße.
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Super danke,
ich es verstanden, machmal sind eben solche "einfachen" dinge einen nicht auf der ersten Blick klar, deshalb noch mal danke.
Also:
Sei $ [mm] y_0 \in B(x_0,r)$ [/mm] und [mm] $s=r-d(x_0,y_0)$ [/mm] , desweitern gilt $s>0$ den [mm] $d(x_0,y_0)
danke freshstyle
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