Obersumme Untersumme bilden < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:23 Sa 24.09.2005 | | Autor: | Tobi15 |
Hallo,
ich soll mit Hilfe der Obersumme sowie der Untersumme den Flächeninhalt der Randfunktion f(x)=x²-4 zwischen y-Achse und der Geraden x=2 bestimmen.
Das Problem liegt bei mir darin, dass ich nicht genau weiss wie ich die Ober- bzw. Untersumme bilden soll.
Untersumme:
h=b/n
s_=h*f(0*h)+h*f(1*h)+h*f(2h)+h*f(3h)+.........h*f((n-1)h)
Soweit ist ja alles klar angewant wäre das:
s_=b/n[(0*b/n)²-4+ 1²(b/n)²-4+........ [mm] (n-1)^{n} [/mm] (b/n)²-4]
so wie komme ich jetzt weiter in der Schule hatten wir igrendwelche Formeln mit
1/6 (n-1) n (2n-1)
und dafür wurde dann der Limes angwandt.
nur wie komme ich auf die 1/6..... usw.
Oder ist das allegmeingültig??
Danke
Tobi15
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:34 Sa 24.09.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Tobi!
Also, es gilt allgemein:
[mm] $\sum\limits_{i=0}^{n-1} i^2 [/mm] = [mm] \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$.
[/mm]
Hier bei steht das Summenzeichen [mm] $\sum\limits_{i=0}^{n-1} i^2$ [/mm] für [mm] $0^2+1^2+2^2+\ldots [/mm] + [mm] (n-1)^2$.
[/mm]
Wir erhalten nun für die Untersumme mit $h= [mm] \frac{b}{n}=\frac{2}{n}$:
[/mm]
[mm] $s_2 [/mm] = [mm] \frac{2}{n} \sum\limits_{i=0}^{n-1} \left[ \left( i \cdot \frac{2}{n} \right)^2 - 4 \right]$
[/mm]
$= [mm] \frac{2}{n} \cdot \left( \frac{4}{n^2} \sum\limits_{i=0}^{n-1} i^2 - 4n \right)$
[/mm]
$= [mm] \frac{8}{n^3} \sum\limits_{i=0}^{n-1} i^2 [/mm] -8$
$= [mm] \frac{8}{n^3} \cdot \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} [/mm] - 8$
$= [mm] \frac{4}{3} \cdot \frac{(n-1)n(2n-1)}{n^3} [/mm] - 8$.
Damit erhalten wir:
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} s_n [/mm] = [mm] \frac{4}{3} \cdot [/mm] 2 - 8 = - [mm] \frac{16}{3}$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:31 So 25.09.2005 | | Autor: | Tobi15 |
Hallo Stefan,
danke für deine schnelle Antwort.
Die Schriebweise mit dem Summenzeichen ist mir unbekannt.
Kann man das auch anders schreiben?
Des Weiteren ist mir nicht genau klar, welcher teil der Formel allgemein gültig (z.B Für f(x)=x²) und welcher Teil speziell ist (für f(x)=x²-4).
Danke
Tobi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:57 So 25.09.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Tobi
Ich schreibs nochmal ohne Summenzeichen:
1. es gilt immer [mm] 1^{2}+2^{2}+3^{2}+ .........+n^{2}=\bruch{1}{6}*n*(n-1)*(2n-1)
[/mm]
2. du musst ausklammern alle 4en zusammenfassen zu n*4 und nachdem du die aus der Klammer raus hast [mm] (b/n)^{2} [/mm] ausklammern.
> s_=b/n[(0*b/n)²-4+ 1²(b/n)²-4+........ [mm](n-1)^{n}[/mm] (b/n)²-4]
dann hast du b/n*4n+b/n* [mm] (b/n)^{2}*(1^{2}+2^{2}+3^{2}+.....(n-1)^{2})
[/mm]
dann die Formel oben für (n-1) einsetzen , und dann n gegen unendlich.
entsprechend mit den Obersummen.
Wenn du vollständige Induktion kennst, kannst du die Formel auch beweisen, sonst darfst du sie einfach benutzen
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 So 25.09.2005 | | Autor: | Tobi15 |
Hallo,
danke für die schnelle Antwort.
Das mit dem ausklammern habe ich auch verstanden, dann steht dort z.B.
für f(x)=x²-4
b³/n³[0²+1²+2²+3².....(n-1)²+b/n+(n*-4)]
so weit so gut. Alles klar ich wie komme ich dann
auf die 1/6(n) (n+1) (2n+1) / !!Die Formel habe ich für f(x)=x² herausbekommen aber die kann ich ja Nicht für f(x)=x²-4 verwenden.
Danke
Tobi15
|
|
|
| |
|
Hallo Tobi15,
> Das mit dem ausklammern habe ich auch verstanden, dann
> steht dort z.B.
> für f(x)=x²-4
> b³/n³[0²+1²+2²+3².....(n-1)²+b/n+(n*-4)]
>
> so weit so gut. Alles klar ich wie komme ich dann
>
> auf die 1/6(n) (n+1) (2n+1) / !!Die Formel habe ich für
> f(x)=x² herausbekommen aber die kann ich ja Nicht für
> f(x)=x²-4 verwenden.
die Summe kannst Du aufspalten:
[mm]
\begin{gathered}
\frac{b}
{n}\;\left( {0^2 \;\frac{{b^2 }}
{{n^2 }}\; - 4\; + \;1^2 \;\frac{{b^2 }}
{{n^2 }}\; - \;4\; + \; \cdots \; + \;\left( {n\; - 2} \right)^2 \;\frac{{b^2 }}
{{n^2 }}\; - \;4\; + \;\left( {n\; - 1} \right)^2 \;\frac{{b^2 }}
{{n^2 }}\; - \;4\;} \right) \hfill \\
= \;\frac{b}
{n}\;\left( {\sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {i^2 \;\frac{{b^2 }}
{{n^2 }}\; - \;4} } \right) \hfill \\
= \;\frac{{b^3 }}
{{n_3 }}\;\sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {i^2 } \; - \;\frac{b}
{n}\;\sum\limits_{i = 0}^{n - 1} 4 \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Gruß
MathePower
|
|
|
|
