Obersumme/Untersumme < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:53 Mo 12.03.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Sei T={0,1/4,1/2,3/4,1} eine Zerlegung des Intervalls [0, 1]. Man ermittle
für f(x) = 1 - [mm] x^2 [/mm] die Ober- und Untersumme zu dieser Zerlegung und
vergleiche diese Werte mit [mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx} [/mm] |
f(0) = 1
f(1)=0
Dann hab ich mir die Monotonie der Funktion angeschaut im Intervall [0,1]
Sei [mm] \varepsilon [/mm] >0
f (x) > f (x + [mm] \varepsilon)
[/mm]
1- [mm] x^2 [/mm] > 1 - [mm] x^2 [/mm] -2x [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \epsilon^2
[/mm]
0 > -2x [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \epsilon^2
[/mm]
=> fallend
Obersumme:
[mm] T={x_0 < x_1 < ..
O(f,T) = [mm] \sum_{j=1}^{n} [/mm] sup f ( [mm] x_j [/mm] - [mm] x_{j-1})
[/mm]
sup f vom Intervall [mm] [x_{j-1}, x_j]
[/mm]
sup f in dem teilintervall ist doch der Wert ganz links, da die Funktion monoton fallend ist. f(0)=1 Und die Intervalllänge ist 1/4
Die obere Summen-Grenze sind die Anzahl der Teilintervalle, also hier 5. Aber was ist genau j in dem Beispiel?
O(f,T) = [mm] \sum_{j=1}^{5} [/mm] 1* (1/4) = 1/4 [mm] *\sum_{j=1}^{5} [/mm] 1 = 1/4 * 4 = 1
O(f,T) = [mm] \sum_{j=1}^{n} [/mm] inf f ( [mm] x_j [/mm] - [mm] x_{j-1})
[/mm]
inf f vom Intervall [mm] [x_{j-1}, x_j]
[/mm]
U(f,T)= [mm] \sum_{j=1}^5 [/mm] 0 * 1/4 =0
Ich hab das Gefühl, das stimmt so nicht ganz - ich mach das nämlich zum ersten Mal ;)
> vergleiche diese Werte mit [mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx}
[/mm]
Meint man da, wie wir es in der Schule gmacht haben? Weil offiziell haben wir das ja noch nicht gemacht in der Vorlesung.
[mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx}= [/mm] x - [mm] x^3/3 [/mm] = 2/3
|
|
| |
|
Hallo,
> Sei T={0,1/4,1/2,3/4,1} eine Zerlegung des Intervalls [0,
> 1]. Man ermittle
> für f(x) = 1 - [mm]x^2[/mm] die Ober- und Untersumme zu dieser
> Zerlegung und
> vergleiche diese Werte mit [mm]\integral_{0}^{1}{f(x) dx}[/mm]
>
> f(0) = 1
> f(1)=0
> Dann hab ich mir die Monotonie der Funktion angeschaut im
> Intervall [0,1]
> Sei [mm]\varepsilon[/mm] >0
> f (x) > f (x + [mm]\varepsilon)[/mm]
> 1- [mm]x^2[/mm] > 1 - [mm]x^2[/mm] -2x [mm]\varepsilon[/mm] - [mm]\epsilon^2[/mm]
> 0 > -2x [mm]\varepsilon[/mm] - [mm]\epsilon^2[/mm]
> => fallend
das ist richtig, geht aber auch einfacher (wenn man die Ableitung verwenden darf).
>
> Obersumme:
> [mm]T={x_0 < x_1 < ..
> O(f,T) = [mm]\sum_{j=1}^{n}[/mm] sup f (
> [mm]x_j[/mm] - [mm]x_{j-1})[/mm]
> sup f vom Intervall [mm][x_{j-1}, x_j][/mm]
>
> sup f in dem teilintervall ist doch der Wert ganz links, da
> die Funktion monoton fallend ist. f(0)=1 Und die
> Intervalllänge ist 1/4
> Die obere Summen-Grenze sind die Anzahl der
> Teilintervalle, also hier 5.
Ab hier wird es falsch. Intervalle sind es 4.
> Aber was ist genau j in dem
> Beispiel?
j ist wie immer der Summationsindex.
>
> O(f,T) = [mm]\sum_{j=1}^{5}[/mm] 1* (1/4) = 1/4 [mm]*\sum_{j=1}^{5}[/mm] 1 =
> 1/4 * 4 = 1
Diese Rechnung verstehe ich nun nicht mehr. Wo sind jetzt die Suprema von oben geblieben?
Überlege nochmal in aller Ruhe, was du da gerechnet hast. Deine Idee war nämlich schon richtig, aber dann musst du sie auch ausführen!
[Zur Kontrolle: die Obersumme sollte hier 25/32 sein.]
>
> O(f,T) = [mm]\sum_{j=1}^{n}[/mm] inf f ( [mm]x_j[/mm] - [mm]x_{j-1})[/mm]
> inf f vom Intervall [mm][x_{j-1}, x_j][/mm]
>
> U(f,T)= [mm]\sum_{j=1}^5[/mm] 0 * 1/4 =0
Das ist natürlich ebenso falsch. Hier müssen die Infima - aber die richtigen - summiert werden.
[Zur Kontrolle: die Untersumme sollte hier 17/32 sein.]
Ich habe so eine Ahnung, wo dein Denkfehler liegt: sup(f) bzw. inf(f) sind jeweils die Suprema bzw. Infima aus dem jeweiligen Teilintervall der Zerlegung, nicht aus [0,1].
Hilft dir das ein Stück weiter?
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:20 Mo 12.03.2012 | | Autor: | quasimo |
> das ist richtig, geht aber auch einfacher (wenn man die Ableitung verwenden darf).
f'(x) = -2x
Und dann setzte ich 0 und 1 ein oder wie?
> Ich habe so eine Ahnung, wo dein Denkfehler liegt: sup(f) bzw. inf(f) sind jeweils die Suprema bzw. Infima aus dem jeweiligen Teilintervall der Zerlegung, nicht aus [0,1].
Ja das war ein Fehler von mir!
Die Teilintervalle sind [0,1/4], [1/4,1/2],[1/2,3/4],[3/4,1]
genau also 4 Intervalle.
sup f([0,1/4]) = f(0)=1
sup f([[1/4,1/2]) = f(1/4) =15/16
sup f([1/2,3/4]) = f(1/2)= 3/4
sup f([3/4,1]) = f(3/4) = 7/16
O(f,T) = 1* 1/4 +15/16 * 1/4 + 3/4 * 1/4 + 7/16 * 1/4 = 25/32
Stimmt, aber wie Bring ich das auf ein eleganteres Summenzeichen?Oder ist das hier gar nicht so gelegen es in SUmmenform zu bringen?
inf f([0,1/4]) = f(1/4)=15/16
inf f([[1/4,1/2]) = f(1/2) =3/4
inf f([1/2,3/4]) = f(3/4)= 7/16
inf f([3/4,1]) = f(1) = 0
U(f,T) = 15/16 * 1/4 + 3/4 * 1/4 + 7/16 * 1/4 = 17/32
> vergleiche diese Werte mit $ [mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx} [/mm] $
Das hat im ersten beitrag so gestimmt?
|
|
|
| |
|
Hallo,
bei dem Nachweis der Monotonie mit der Ableitung kann man einfach argumentieren, dass für [mm] x\ge{0} [/mm] sicherlich [mm] f'(x)\le{0} [/mm] ist.
Beim Summenzeichen schreibe
[mm] f\left(\bruch{j-1}{4}\right)
[/mm]
für die Ober- und
[mm] f\left(\bruch{j}{4}\right)
[/mm]
für die Untersumme als Summand.
Das Integral passt.
Gruß, Diophant
|
|
|
|
