Oberintegral Ungleichung < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:05 Mi 19.10.2011 | | Autor: | sissenge |
| Aufgabe | seien f,g .[a,b] beschränkte Funktionen. Zeigen Sie: Für das Oberintegral gilt die Ungleichung:
O[a,b] (f+g) [mm] \le [/mm] O[a,b] (f(x)) + O[a,b] (g(x)) |
Also jetzt habe ich mir zunächst mal die Definitionen des Oberintegrals hin geschrieben
[mm] *\integral_{a}^{b}{f(x) dx}:= inf{\integral_{a}^{b}{\phi(x) dx : \phi \in T[a,b] mit \phi \ge f }}
[/mm]
und das habe ich dann eben auch für g(x) und für (f+g)(x) aufgestellt.
Jetzt habe ich im Internet gefunden, dass dann das integral von [mm] \phi \le [/mm] Oberintegral von f ist. Könnte mir jemand diesen schritt bitte erklären.
Was heißt es denn wenn eine Funktion größer als eine andere ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:10 Mi 19.10.2011 | | Autor: | Helbig |
> Was heißt es denn wenn eine Funktion größer als eine
> andere ist?
Mit [mm] $f\ge \phi$ [/mm] meint man einfach [mm] $f(x)\ge\phi(x)$ [/mm] für alle [mm] $x\in[a,b]$. [/mm] Ebenso bedeutet [mm] $f\le\phi$, [/mm] daß [mm] $f(x)\le\phi(x)$ [/mm] für alle [mm] $x\in[a,b]$ [/mm] ist. Nun beachte die Definition des Infimums als größte untere Schranke einer unten beschränkten Menge für gegeignet gewählte Mengen, um die Ungleichung der Oberintegrale herzuleiten.
OK?
viel Erfolg,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:02 Sa 22.10.2011 | | Autor: | sissenge |
Aber wie kann dann das Integral der größeren FUnktion kleiner als das Integral der kleiner Funktion sein?? Ich kann mir das nicht so richtig vorstellen, oder ist der ANsatz den ich im Internet gefunden habe falsch:
es gibt eine FUnktion [mm] \phi [/mm] die größer ist als f
es gibt eine Funktion [mm] \gamma [/mm] die größer ist als g
das Integral von [mm] \phi [/mm] ist kleiner als das Oberintegral von f
das Integral von [mm] \gamma [/mm] ist kleiner als das Oberintegral von g
das Integral von [mm] \phi [/mm] + [mm] \gamma [/mm] ist größer als das Oberintegral von f+g (WIESO???)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:30 Sa 22.10.2011 | | Autor: | Helbig |
> Aber wie kann dann das Integral der größeren FUnktion
> kleiner als das Integral der kleiner Funktion sein?? Ich
> kann mir das nicht so richtig vorstellen, oder ist der
> ANsatz den ich im Internet gefunden habe falsch:
Du hast völlig recht! Das Integral der größeren Funktion ist natürlich größer als das Integral der kleineren Funktion.
Im folgenden lasse ich die Integrationsgrenzen [mm]a, b[/mm] mal weg.
Das Oberintegral [mm] $\int^- f\,dx$ [/mm] von [mm]f[/mm] ist das Infimum aller Integrale aller Treppenfunktionen [mm] $\phi\ge [/mm] f$. Und das heißt, zu jedem [mm] $\epsilon>0$ [/mm] gibt es eine Treppenfunktion [mm] $\phi\ge [/mm] f$, so daß das [mm] $\int \phi \,dx [/mm] < [mm] \int^- f\, dx+\epsilon$. [/mm] Genauso gibt es ein [mm] $\gamma \ge [/mm] g$ mit [mm] $\int \gamma \,dx <\int^- g\, [/mm] dx [mm] +\epsilon$.
[/mm]
Nun ist [mm] $\phi+\gamma$ [/mm] eine Treppenfunktion mit [mm] $\phi [/mm] + [mm] \gamma \ge [/mm] f+g$ und wir erhalten:
[mm]\begin{matrix}
\int^- f+g\,dx &\le& \int \phi+\gamma\, dx \\
\ &=& \int \phi\, dx + \int \gamma \,dx \\
\ &<& \int^-f\, dx +\epsilon + \int^-g \,dx + \epsilon \\
\ &=&\int^- f \,dx + \int^- g \,dx + 2\epsilon
\end{matrix}
[/mm]
Da [mm] $\epsilon$ [/mm] beliebig war, folgt
[mm] $\int^- f+g\, [/mm] dx [mm] \le \int^- [/mm] f [mm] \,dx [/mm] + [mm] \int^- [/mm] g [mm] \,dx$.
[/mm]
Hierbei haben wir
[mm] $\int \phi [/mm] + [mm] \gamma\,dx= \int \phi\,dx [/mm] + [mm] \int \gamma\,dx$
[/mm]
benutzt.
Dies mußt Du eventuell noch zeigen.
viel Erfolg,
Wolfgang
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