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| Aufgabe | Gegeben ist ein nach oben geöffneter Kegel um die z-Achse mit einem Winkel [mm] \Theta_{0} [/mm] zwischen der Achse und dem Kegelmantel und einer Höhe h.
a)Bestimmen Sie in jeweils geeigneten Koordinatensystemen die orientierten Flächenelemente für Kegelmantel und Deckfläche.
b)Berechnen Sie die Oberfläche und das Volumen des Kegels.
c)Wie groß ist der Fluss des Feldes [mm] \vec{A}(\vec{r}) [/mm] = [mm] r^{n}(cos(\phi),sin(\phi),0) [/mm] durch die Kegeloberfläche? |
Erst mal a), die Kegelkoordinaten sind ja:
[mm] \vec{r} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} \frac{r}{h}*z cos(\Theta) \\ \frac{r}{h}*z sin(\Theta) \\ z \end{pmatrix} [/mm]
Servus,
Die Mantelfläche bekommen ich wenn r/h = const. jetzt versteh ich aber nicht wie ich das weiter behandeln soll. Ich kann doch nur konstante Faktoren rausziehen wenn sie in jeder Komponente vor kommen. Auch hängt die Funktion ja nur von tetha und z ab. Wenn ich z.b. mit z als konstant rechne kommt etwas sinnvolles dabei heraus :
c=z=const.
[mm] \vec{r}(\varphi,r) [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} \frac{r}{h} cos(\varphi) \\ \frac{r}{h} sin(\varphi) \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] * c
[mm] \frac{\partial \vec{r}(\varphi,r)}{\partial r}= \begin{pmatrix} cos(\varphi) \\ sin(\varphi) \\ 0 \end{pmatrix}\frac{c}{h} [/mm] =
[mm] \vec{e}_{r} \frac{c}{h} [/mm]
[mm] \frac{\partial \vec{r}(\varphi,r)}{\partial \varphi} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} -sin(\varphi) \\ cos(\varphi) \\ 0 \end{pmatrix} \frac{r}{h} [/mm] = [mm] \vec{e} _{\varphi} \frac{r}{h} [/mm]
[mm] \frac{rc}{h^2} (\vec{e} _{\varphi} \times \vec{e}_{r}) [/mm] = [mm] \frac{rc}{h^2}\vec{e}_{z} d\varphi [/mm] dr
Leider weiß ich jetzt nicht ob das die Mantel oder Deckfläche ist. Da am Ende phi und r variiert werden vermute ich mal das es die Deckfläche ist.
Könnte mir jemand einen Tipp geben was als nächstes Konstant sein muss? Ich hab bei den Berechnungen auch angenommen das h konstant ist, in der Aufgaben stellung steht ja: bei Höhe h....
Gruß
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=495380
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 So 24.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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